结构力学数值方法：边界元法(BEM)：边界积分方程理论_2024-08-04_09-46-26.Tex

结构力学数值方法：边界元法(BEM)：边界积分方程理论

绪论

边界元法的历史与发展

边界元法（Boundary Element Method, BEM）起源于20世纪60年代，最初是在解决弹性力学问题中作为一种替代有限元法（FEM）的数值方法被提出的。它的理论基础可以追溯到格林函数和边界积分方程的使用，这些概念在19世纪末就已经被数学家们所发展。然而，直到计算机技术的成熟，边界元法才得以广泛应用，因为它需要大量的计算资源来处理复杂的边界条件和积分计算。

在发展过程中，边界元法逐渐被应用于各种工程领域，包括但不限于结构力学、流体力学、电磁学、声学和热传导等。它的优势在于能够将三维问题简化为二维边界上的问题，从而大大减少了计算量和所需的内存资源。此外，边界元法在处理无限域和半无限域问题时，比有限元法更为有效，因为它不需要对无限域进行人为的截断。

边界元法的基本原理与优势

边界元法的基本原理是将偏微分方程问题转化为边界上的积分方程问题。这一转化是通过格林函数和边界积分方程理论实现的。格林函数描述了在边界上施加单位点源时，场的响应情况。通过格林函数，可以将场的内部值表示为边界上值的积分形式，从而将问题的求解范围从整个域缩小到边界上。

基本步骤

1. 问题离散化：将连续的边界划分为一系列离散的单元，每个单元上假设场量是常数或线性变化。
2. 边界积分方程建立：根据格林函数和边界条件，建立