边界元方法(二)

本文紧接上一篇博客：边界元方法(一)

例子

注意二维 $Lapace$ 方程的基本解可以参考另一篇博客：调和方程(拉普拉斯方程)基本解和边界元方法的积分计算

单一区域问题

给定方程如下：
$$\begin{array}{c}{\nabla }^{2}u(x,y)=0,in\Omega .\\ u=1,on{\Gamma }_1\\ u=0,on{\Gamma }_2\\ q=0.on{\Gamma }_3\end{array}$$

其中 ${\Gamma }_1=\overline{AB}$, ${\Gamma }_2=\overline{CD}$, ${\Gamma }_3=\overline{BC}\cup \overline{DA}$,

设取区域边界线段为单元，即：
单元 $AB$ 上 $u_1=1$
单元 $BC$ 上 $q_2=0$
单元 $CD$ 上 $u_3=0$
单元 $DA$ 上 $q_4=0$

由公式 (20) 有
$$H_{12}={\int }_{\overline{BC}}{q}^{\ast }ds={\int }_{\overline{BC}}-\frac{1}{2\pi }\ast \frac{(\vec{r},\vec{n})}{r^2}ds=-\frac{1}{2\pi }{\int }_0^1\frac{0.5}{0.25+y^2}dy=-\frac{arctan(2)}{2\pi }=-0.1762081911747834$$
其中源点($SourcePoint$)为单元 $AB$ 中点 $(\frac{1}{2},0)$，场点($FieldPoint$) 为单元 $BC$ 上任一点 $(1,y)$，故源点到被积分场点的向量 $\vec{r}=(\frac{1}{2},y)$，单元 $BC$ 的单位法向量为 $\vec{n}=(1,0)$。

$$H_{11}={\int }_{\overline{AB}}{q}^{\ast }ds={\int }_{\overline{AB}}-\frac{1}{2\pi }\ast \frac{(\vec{r},\vec{n})}{r^2}ds=-\frac{1}{2\pi }{\int }_0^1\frac{0}{(x-\frac{1}{2}{)}^2}dy=0$$
其中源点($SourcePoint$)为单元 $AB$ 中点 $(\frac{1}{2},0)$，场点($FieldPoint$) 为单元 $AB$ 上任一点 $(x,0)$，故源点到被积分场点的向量 $\vec{r}=(x-\frac{1}{2},0)$，单元 $AB$ 的单位法向量为 $\vec{n}=(0,-1)$。
注： 公式 (19) 中上标 $(i)$仅为标识第 $i$ 块区域 故当 $k=1$ 时有 $\frac{1}{2}{u}_1+H_{11}{u}_1+H_{12}{u}_2+\cdots =G_{11}{q}_1+G_{12}{q}_2+\dots$ 因此可以将 $\frac{1}{2}$ 放到 $[H]$ 矩阵的对角元上。 [ H ] { u } = [ G ] { q } [H]\{u\} = [G]\{q\} [H]{u}=[G]{q}

$$G_{23}={\int }_{\overline{CD}}{u}^{\ast }ds={\int }_{\overline{CD}}-\frac{1}{2\pi }lnrds=-\frac{1}{2\pi }{\int }_1^{0}ln(\sqrt{(x-1{)}^2+\frac{1}{4}})dx=\frac{arctan(2)+ln(\frac{5}{4})-2}{4\pi }=-0.05329364789913541$$
其中源点($SourcePoint$)为单元 $BC$ 中点 $(1,\frac{1}{2})$，场点($FieldPoint$) 为单元 $CD$ 上任一点 $(x,1)$，故源点到被积分场点的向量 $\vec{r}=(x-1,\frac{1}{2})$，单元 $CD$ 的单位法向量为 $\vec{n}=(0,1)$。

综上有
$$\left[\begin{array}{cccc}0.5& -0.1762& -0.1476& -0.1762\\ -0.1762& 0.5& -0.1762& -0.1476\\ -0.1476& -0.1762& 0.5& -0.1762\\ -0.1762& -0.1476& -0.1762& 0.5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u1\\ u2\\ u3\\ u4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0.2695& 0.0533& -0.0062& 0.0533\\ 0.0533& 0.2695& 0.0533& -0.0062\\ -0.0062& 0.0533& 0.2695& 0.0533\\ 0.0533& -0.0062& 0.0533& 0.2695\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}q1\\ q2\\ q3\\ q4\end{array}\right]$$

注： 当均匀位势作用在整个边界上时，$q$ 的值必为零， 据此可计算 $H$ 的对角线项。这时可由 [ H ] { u } = [ G ] { q } [H]\{u\}=[G]\{q\} [H]{u}=[G]{q} 推导出 [ H ] [ I ] = { 0 } [H][I] = \{0\} [H][I]={0} 此式子表明矩阵 $H$ 的 一行所有元素的总和等于零。于是，一旦非对角线上的系数值全部已知时，则对角线上的系数就容易计算出来了， 即 $H_{ii}=-{\sum }_{i\ne j}{H}_{ij}$ 。

根据边界条件其中 $u_1=1,u_3=0,q_2=0,q_4=0$
可得如下线性方程组：

$$\left[\begin{array}{cccc}-0.2695& -0.1762& 0.0062& -0.1762\\ -0.0533& 0.5& -0.0533& -0.1476\\ 0.0062& -0.1762& -0.2695& -0.1762\\ -0.0533& -0.1476& -0.0533& 0.5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}q1\\ u2\\ q3\\ u4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-0.5\\ 0.1762\\ 0.1476\\ 0.1762\end{array}\right]$$
求解得：
$$\begin{gathered} q_1=1.174,q_3=-1.174 \\ {u}_2=0.5,u_4=0.5 \end{gathered}$$

多区域问题

如上图所示， 在各自区域离散化后，得到各自线性方程组：

[ H i ] { u i } = [ G i ] { q i } ,      ( i = 1 , 2 )         ( 1 ) [H^i]\{u^i\} = [G^i]\{q^i\}, \ \ \ \ (i = 1, 2) \ \ \ \ \ \ \ (1) [Hi]{ui}=[Gi]{qi},    (i=1,2)       (1)
此处 $i$ 表示变量所关联的区域编号。 在公共的交界面 $\Gamma$ 上有如下的连续方程(不妨设 $q$ 之间的比例系数为1)：

$$u_{12}^1=u_{12}^2,q_{12}^1=-q_{12}^2(2)$$

将离散变量 $u、q$ 分为在区域 12 交界面上和不在交界面上的两部分，方程(1)可写为:

$$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{ll}{H}_{11}^1& H_{12}^1\end{array}\right]\left\{\begin{array}{l}{u}_{11}^1\\ u_{12}^1\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ll}{G}_{11}^1& G_{12}^1\end{array}\right]\left\{\begin{array}{l}{q}_{11}^1\\ q_{12}^1\end{array}\right\},\\ \left[\begin{array}{ll}{H}_{12}^2& H_{22}^2\end{array}\right]\left\{\begin{array}{l}{u}_{11}^2\\ u_{22}^2\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ll}{G}_{12}^2& G_{22}^2\end{array}\right]\left\{\begin{array}{l}{q}_{12}^2\\ q_{22}^2\end{array}\right\}.\end{array}(3)$$

利用交界面 $\Gamma$ 上连续性方程(2)，可将方程 (3) 耦合成一整体方程。假设给定的边界条件是 q 值已知的 Neumann 边界条件，则整体方程可组织为:

$$\left[\begin{array}{cccc}{H}_{11}^1& H_{12}^1& -G_{12}^1& [0]\\ [0]& H_{12}^2& G_{12}^2& H_{22}^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_{11}^1\\ u_{12}^1\\ q_{12}^1\\ u_{22}^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{G}_{11}^1& [0]& [0]& [0]\\ [0]& [0]& [0]& G_{22}^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{q}_{11}^1\\ [0]\\ [0]\\ q_{22}^2\end{array}\right](4)$$