Bellman-Ford、Dijkstra、Floyd算法

最新推荐文章于 2024-03-11 13:58:33 发布

chenf99

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分类专栏：算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/chenf1999/article/details/114819429

本文介绍了三种图中的最短路径算法：Bellman-Ford适用于有负权边的情况，通过N-1次松弛操作找出单源最短路径，同时也可检测负环路；Dijkstra算法不支持负权边，通过逐步加入最短路径节点的方式求解；Floyd算法找出任意两点间最短路径，时间复杂度为O(n^3)。

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文章目录

Bellman-Ford算法

Bellman-Ford用于找出单源最短路径，即从源节点到图中每个节点的最短路径，支持边权重为负的情况。
算法利用了动态规划的思想，实现简单，但时间复杂度为 $O (V E)$ ，非常高。

解决的问题

从A出发是否可以到达各个节点
从A出发到达各个节点的最短路径
图中是否存在负环路（权重之和为负数）

思路

初始化：对图中所有节点v，设置dist(v)=infinite，设置dist(src)=0
接下来进行N-1次松弛操作，对于每次松弛操作：
遍历所有的边(u, v)，如果dist(u) + w(u, v) < dist(v)，则更新dist(v)
重复执行N-1次松弛操作可以理解为，每次从src出发，允许绕多一个节点，是否能够得到从src到v更短的路径
最后如果再进行一次松弛操作，还能找到从src到v更短的路径的话，说明存在负环路
如果存在负环路，则Bellman-Ford算法不支持计算出到各个节点的最短路径

leetcode例题

https://leetcode-cn.com/problems/cheapest-flights-within-k-stops/
这道题目中限制K次中转可以理解为限制Bellman-Ford算法中的松弛次数，因此用二维dp即可解决：

class Solution {
   
   
public:
    int findCheapestPrice(int n, vector<vector<int>>& flights, int src, int dst, int k) {
   
   
        int cost[n][k + 1];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
   
   
            for (int j = 0; j <= k; ++j) {
   
   
                cost[i][j] = INT_MAX;
            }
        }
        for (int j = 0; j <= k; ++j) {
   
   
            cost[src][j] = 0;
        }
        for (auto& flight : flights) {
   
   
            int u = flight[0], v = flight[1], w = flight[2];
            if (u == src) {
   
   
                cost[v][0] = w;
            }
        }
        for (