Bellman-Ford、Dijkstra、Floyd算法

本文介绍了三种图中的最短路径算法:Bellman-Ford适用于有负权边的情况,通过N-1次松弛操作找出单源最短路径,同时也可检测负环路;Dijkstra算法不支持负权边,通过逐步加入最短路径节点的方式求解;Floyd算法找出任意两点间最短路径,时间复杂度为O(n^3)。

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Bellman-Ford算法

Bellman-Ford用于找出单源最短路径,即从源节点到图中每个节点的最短路径,支持边权重为负的情况
算法利用了动态规划的思想,实现简单,但时间复杂度为 O ( V E ) O(VE) O(VE),非常高。

解决的问题

  1. 从A出发是否可以到达各个节点
  2. 从A出发到达各个节点的最短路径
  3. 图中是否存在负环路(权重之和为负数)

思路

  1. 初始化:对图中所有节点v,设置dist(v)=infinite,设置dist(src)=0
  2. 接下来进行N-1次松弛操作,对于每次松弛操作:
    遍历所有的边(u, v),如果dist(u) + w(u, v) < dist(v),则更新dist(v)
    重复执行N-1次松弛操作可以理解为,每次从src出发,允许绕多一个节点,是否能够得到从src到v更短的路径
  3. 最后如果再进行一次松弛操作,还能找到从src到v更短的路径的话,说明存在负环路
    如果存在负环路,则Bellman-Ford算法不支持计算出到各个节点的最短路径

leetcode例题

https://leetcode-cn.com/problems/cheapest-flights-within-k-stops/
这道题目中限制K次中转可以理解为限制Bellman-Ford算法中的松弛次数,因此用二维dp即可解决:

class Solution {
   
   
public:
    int findCheapestPrice(int n, vector<vector<int>>& flights, int src, int dst, int k) {
   
   
        int cost[n][k + 1];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
   
   
            for (int j = 0; j <= k; ++j) {
   
   
                cost[i][j] = INT_MAX;
            }
        }
        for (int j = 0; j <= k; ++j) {
   
   
            cost[src][j] = 0;
        }
        for (auto& flight : flights) {
   
   
            int u = flight[0], v = flight[1], w = flight[2];
            if (u == src) {
   
   
                cost[v][0] = w;
            }
        }
        for (
### DijkstraBellman-FordFloyd-Warshall 算法的时间复杂度比较 #### Dijkstra 算法时间复杂度 Dijkstra 算法是一种单源最短路径算法,适用于边权重为非负的情况。在实现中,通常使用优先队列来优化算法性能。如果使用邻接矩阵表示图,则时间复杂度为 \(O(V^2)\),其中 \(V\) 是顶点的数量。如果使用邻接表和最小堆(或斐波那契堆),时间复杂度可以降低到 \(O((V + E) \log V)\),其中 \(E\) 是边的数量[^1]。 #### Bellman-Ford 算法时间复杂度 Bellman-Ford 算法同样用于计算单源最短路径,但与 Dijkstra 不同的是,它能够处理负权重的边。该算法通过松弛操作对每条边进行 \(V-1\) 次迭代,因此其时间复杂度为 \(O(VE)\)[^2]。尽管 Bellman-Ford 的时间复杂度较高,但它具有检测负权重环的能力,这是其他两种算法无法做到的。 #### Floyd-Warshall 算法时间复杂度 Floyd-Warshall 算法用于解决所有顶点对之间的最短路径问题。它采用动态规划的思想,逐步尝试通过中间节点优化路径长度。由于需要三重嵌套循环遍历所有顶点对,其时间复杂度为 \(O(V^3)\)[^2]。虽然该算法的时间复杂度较高,但它适合于稠密图,并且实现简单。 #### 时间复杂度总结 | 算法名称 | 时间复杂度 | 适用场景 | |------------------|------------------------|-------------------------------------------| | Dijkstra | \(O(V^2)\) 或 \(O((V + E) \log V)\) | 单源最短路径,边权重非负 | | Bellman-Ford | \(O(VE)\) | 单源最短路径,允许负权重边 | | Floyd-Warshall | \(O(V^3)\) | 所有顶点对最短路径,允许负权重边(无负环)| ```python # 示例代码:三种算法的时间复杂度对比 def time_complexity_comparison(): print("Dijkstra: O(V^2) or O((V + E) log V)") print("Bellman-Ford: O(VE)") print("Floyd-Warshall: O(V^3)") time_complexity_comparison() ```
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