[线性代数]常用符号整理

1. $x\in {\mathbb{R}}^n$表示具有$n$个元素的列向量，行向量通常用列向量的转置来表示
2. 对于方阵$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$,$|A|$或$\det A$表示它的行列式
3. $I\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$表示单位矩阵，它是一个方阵
4. 对角矩阵通常表示为$D=diag(d_1,d_2,\cdots ,d_n)$
5. 对于$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}，tr(A)$表示方阵的迹，是其对角元素之和
6. 向量的1-范数:$$\Vert x{\Vert }_1=\sum _{i=1}^n|x_i|$$
   向量的2-范数:$$\Vert x{\Vert }_2=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}$$
   向量的无穷范数:$$\Vert x{\Vert }_{\infty }=\underset{i}{\max }|x_i|$$
7. $rank(A)$表示矩阵$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$的秩
8. span({x1,…,xn})span(\lbrace x_1,\ldots,x_n\rbrace)span({x1​,…,xn​})是所有可以表示为{x1,…,xn}\lbrace x_1,\ldots,x_n\rbrace{x1​,…,xn​}的线性组合的向量的集合
9. $\mathcal{R}(A)$表示矩阵$A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$的值域，也即其列空间
10. $\mathcal{N}(A)$表示矩阵$A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$的零空间
11. $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)$表示矩阵$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$的伴随矩阵
12. 对称矩阵$A>0$表示$A$为正定矩阵，$A\ge 0$表示$A$为半正定矩阵
13. 给定一个方阵$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$，若有：$$Ax=\lambda x，x\ne 0$$，则$\lambda$是$A$的特征值，$x$是$A$的特征向量
14. 对于$f:{\mathbb{R}}^{m\times n}\to \mathbb{R}$是将$A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$作为输入并返回实数值的函数，${\nabla }_{A}f(A)\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$表示$f$的梯度，并有$$({\nabla }_{A}f(A){)}_{ij}=\frac{\partial f(A)}{\partial A_{ij}}$$只有函数返回标量值时才能定义函数的梯度