[线性代数]向量2-范数三角不等式证明

定理

对于所有$x,y\in {\mathbb{R}}^n,\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$，其中对于$x\in {\mathbb{R}}^n$, $$\Vert x{\Vert }_2=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}$$

证明

柯西不等式：
$${\left(\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\right)}^2\le \sum _{k=1}^n{a}_k^2\sum _{k=1}^n{b}_k^2$$
利用柯西不等式，证明过程如下：
$$\Vert x+y\Vert =\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i+y_i{)}^2}=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i^2+y_i^2+2x_i{y}_i})$$$$\le \sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i^2+y_i^2)+2\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2\sum _{i=1}^n{y}_i^2}}$$$$=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2+\sum _{i=1}^n{y}_i^2+2\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}\sqrt{\sum _{i=1}^n{y}_i^2}}$$$$=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}+\sqrt{\sum _{i=1}^n{y}_i^2}$$$$=\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$$
证毕