有意思的微分方程解

有意思的微分方程解

y''+y=0

采用以前的方式，它的特征方程是x^2+1=0,所以可以得到两个解：

x1=i,x2=-i

按照其中的规律,这样就可以知道y的两个特殊解为e^(ix)和e^(-ix),这样它的一般解为：

y=A*e^(ix)+B*e^(-ix)

特别需要注意的是当A=B=1/2，由欧拉公式可以得到y=cos x,代入可以验证这是对的。

另外当A=1/2,B=-1/2时，由欧拉公式可以得到y=sin x,代入可以验证这是对的。

 

下面从线性代数零空间的角度分析两者的共同点：

这里前面所求的特解e^(ix)和e^(-ix)，它的获得相当于在求零空间过程中，假定自由变量为(0,1)或者(1,0)而获得的解，但以前还能获得另外的特殊解，假定自由变量为(0,0)，因为它还有其他的限制变量，但这里没有了，只是获得零解就行了。