真分数的幂级数展开

真分数的幂级数展开

求2*x/(1-2x+x^2)

相关的系数的差分方程为x^2-2*x+1=0

所以设置a(n)=A*n+B,特解有：

a(0)=B=0

a(1)=A+B=2

Go

A=2

B=0

Go

a(n)=2*n

所以S=2*x/(1-2x+x^2)=2*x+(2*2)*x^2+(2*3)*x^3+...+(2*n)*x^n

S*x=2*x^2+(2*2)*x^3+(2*3)*x^4+...+(2*n)*x^(n+1)

Go

S-S*x=2*x+2*(x^2+x^3+...+x^n)-(2*n)*x^(n+1)

Go

S*(1-x)=2*x+2*{x^2-x^(n+1)}/(1-x) -(2*n)*x^(n+1)

Go

S*(1-x)=2*x+2*{x^2-x^(n+1)}/(1-x) -(2*n)*x^(n+1)

当x<1,而n比较大的时候，x^(n+1)=0，

GO

S*(1-x)=2*x+2*{x^2}/(1-x) 

Go

S=2*x/(1-x)^2得到证明。

从上面也可以看出这种推导方法也是母函数的来历。

下面写程序来证明：

(defun pow (num count)

(if (or (> count 1) (eq  count  1) )

      (* num 

         (pow num 

              (- count 1) ) )

      1))

 

(defun slayer ( count)

(if (or (> count 1) (eq  count  1) )

      (* count 

         (slayer  

              (- count 1) ) )

      1))

 

 

(defun  expr  (n x)

(if  (=   n  0)

      0

     (+  (expr  (1-  n)

                x)

         (*  (*  2.0  

                 n)

             (pow  x

                   n)))))  

 

 

(defun  formula ( x)

(/  (*  2.0  

        x)

    (pow  (-  1  x)

          2)))

 

(defun  test (n)

(if (> n 0)

  (progn 

       (print (expr   n  0.9))

       (print  'compare)

       (print (formula  0.9))       

       (test (- n 1)))

  (print 'over)))

 

(test  50) 

x的值越小，n的值越大，两者的值越吻合。