fibs数列的母函数解法

fibs数列的母函数解法

假设a0=a1=1,并且有a(n)-a(n-1)-a(n-2)=0,

设fibs数列的母函数为f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+...

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x*f(x)=a0*x+a1*x^2+a2*x^3+a3*x^4+...

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x*x*f(x)=a0*x^2+a1*x^3+a2*x^4+a3*x^5+...

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上面三个式子相减：

f(x)*(1-x-x^2)=a0+(a1-a0)*x+(a2-a1-a0)*x^2+(a3-a2-a1)*x^3....

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化简：

f(x)*(1-x-x^2)=a0+(a1-a0)*x=1

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f(x)=1/(1-x-x^2)

设方程(1-x-x^2)的根分别为A,B

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f(x)=1/(A-B)* { 1/(x-A) - 1/(x-B) }

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f(x)=1/(B-A)* { 1/A*1/(1-x/A) - 1/B*1/(1-x/B) }

因为形式为1/x-1的母函数展开式是标准的形式.

所以可以求得f(x)的x^n的系数a(n)的值。

 

思维：

1,为什么系数a0,a1和母函数有这样的联系？

2，在求母函数的表达式的过程中，采用的方法也是类似于差分方程的方法，特别是其中对于无穷的处理也是很微妙的。