序列的母函数

定义

  母函数，也叫生成函数，是求数列通项公式的强大工具。对于一个函数，它的麦克劳林级数每项$x^n$前的因子，如果是某个数列的第$n$项，那么这个函数就是数列的母函数。比如说$f(x)=(x+1{)}^2$，它的各阶导数如下：
$$\begin{gathered} f(x)=(x+1{)}^2 \\ {f}^{\prime }(x)=2(x+1) \\ {f}^{\prime \prime }(x)=2 \\ {f}^{(3)}(x)=0 \end{gathered}$$
  所以它的展开式为：
$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2=1+2x+x^2$$
  所以它是数列$2,1,0,\cdots ,0$的母函数。当然这个例子不需要那么复杂的展开，只需要根据多项式运算法则，把$(x+1{)}^2$算出来就好了。

求母函数

  举个考试的例题来说说母函数的求法，求以下调和数列的母函数：
$$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{n}$$
  对于这种，我们需要建立一种敏感，这肯定是对数函数的展开式。我们先拿 f ( x ) = ln ⁡ x f(x)=\ln x