四边形网格生成算法：Q-Morph（二）底边分类

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参考论文：Q-Morph an indirect approach to advancing front quad meshing

三角网格初始化

理论上任何三角化方法都可以用来初始化，但最终的四边形网格会因初始三角网格不同而有些不同。为了用四边形充分表示几何图形，初始三角形必须具有足够的密度，以表示模型特征和曲面曲率。长宽比过高的三角形也可能导致较差的四边形。在实践中，“Advancing Front Surface Mesh Generation in Parametric Space Using a Riemannian Surface Definition” 使用参数空间、考虑曲面曲率进行三角化。

底边初始化

对区域进行三角剖分后，需要先初始化Front队列。通过遍历所有的网格边界，收集所有边界作为初始Front队列。每条边有一个边方向属性和面方向属性。边方向沿着三角形逆时针方向确定。该边相邻三角形与边的方向关系确定了面方向。方向属性有助于进行局部拓扑查询，例如确定元素邻接点和前面邻接点（具体可以参考三角网格半边数据结构）。

底边分类

边的分类由状态（state）决定。

状态是两个二进制数组成，分别由该边与左右相邻的边组成的角度决定。

如果小于3π/4则为1，否则为0。

状态一共有4种，0-0， 1-0， 0-1， 1-1。

状态的定义有两个作用：1）标记边的哪一端需要生成侧边，如果状态为0则需要生成侧边。2）定义了边的处理顺序，按照1-1，0-1， 1-0， 0-0的顺序处理边。

角度计算

为了生成边的状态，算法中需要用到大量的角度计算。

对于二维的角度，直接计算两条线段的角度即可。

对于三维的角度，需要把围绕角顶点的所有角度加起来。

${\alpha }_k=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i,{\alpha }_i=co{s}^{-1}\left(\frac{{\mathbf{A}}_{\mathbf{i}}\cdot {\mathbf{B}}_{\mathbf{i}}}{\Vert {\mathbf{A}}_{\mathbf{i}}\Vert \cdot \Vert {\mathbf{B}}_{\mathbf{i}}\Vert }\right)$

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