乘法逆元_

乘法逆元

定义：若$a\ast x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$，则$x$为$a$在$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$下的逆元

作用：求$\frac{b}{a}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$，的$\frac{1}{a}$在$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$下的整数取值

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求法：

扩展欧几里得：

前提：$a\perp p$（因为扩展欧几里得要求方程$ax+by=1$的$a\perp b$）

做法：若是要求$a\ast x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$，其实就是要求$ax+by=1$的$x$的取值，扩展欧几里得求解即可

代码实现:

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;

void read(int &sum)
{
	sum=0;char last='w',ch=getchar();
	while (ch<'0' || ch>'9') last=ch,ch=getchar();
	while (ch>='0' && ch<='9') sum=sum*10+ch-'0',ch=getchar();
	if (last=='-') sum=-sum;
}
int gcd(int a,int b)
{
	if (a%b==0) return b;
	else return gcd(b,a%b);
}
void EX_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if (b==0) x=1,y=0;
	else EX_gcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;	
}
int a,b,c;
signed main()
{
//	freopen("M.in","r",stdin);
//	freopen("M.out","w",stdout);
	read(a),read(b),c=1;
	int t=gcd(a,b);
	a/=t,b/=t;
	int x,y;
	EX_gcd(a,b,x,y);
	x*=c/t,y*=c/t;
	printf("%lld",(x+b*100)%b);
//	fclose(stdin);fclose(stdout);
	return 0;
}

快速幂

前提：$p$是质数，且$a\perp p$（因为费马小定理$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，中$p$是质数，且$a\perp$）

做法：$\because a\ast x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

由费马小定理得，$\therefore a\ast x\equiv a^{p-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

两边同时除$a$得，$\therefore x\equiv a^{p-2}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

最后快速幂加$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d})$结束

代码实现：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;

void read(int &sum)
{
	sum=0;char last='w',ch=getchar();
	while (ch<'0' || ch>'9') last=ch,ch=getchar();
	while (ch>='0' && ch<='9') sum=sum*10+ch-'0',ch=getchar();
	if (last=='-') sum=-sum;
}
int a,p;
int sortm(int x,int k)
{
	if (k==0) return 1;
	if (k==1) return x%p;
	int t=sortm(x,k/2)%p;
	if (k%2==0) return t*t%p;
	else return t*t%p*x%p;
}
signed main()
{
//	freopen("M.in","r",stdin);
//	freopen("M.out","w",stdout);
	read(a),read(p);
	int ans=sortm(a,p-2);
	printf("%lld",ans);
//	fclose(stdin);fclose(stdout);
	return 0;
}

线性算法

作用：求$1$~$n$的所有数的逆元

做法：首先我们知道$1$的逆元为$1$，然后设要求的为$i$，再设$p=i\ast k+r$，把这个式子放在$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$下，得$i\ast k+r\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，两边同时乘以$i^{-1},r^{-1}$，得$k\ast r^{-1}+i^{-1}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，所以$i^{-1}\equiv -k\ast r^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，所以$i^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{i}\rfloor \ast (p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i{)}^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，这样我们就可以通过前面的逆元求出当前逆元。

代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,p;
int inv[6*1000000];
signed main()
{
	cin >> n >> p;
	inv[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++)
		inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		printf("%lld\n",inv[i]);
}

阶乘逆元

作用：求$1!,2!...n!$的逆元

做法：$(inv[i]=\frac{1}{i})$因为$inv[i+1]=\frac{1}{(i+1)!}$，所以$inv[i+1]\ast (i+1)=\frac{1}{i!}$，所以$inv[i]=inv[i+1]\ast (i+1)$，这样我们就可以$O(n)$求解了

代码实现

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;

void read(int &sum)
{
	sum=0;char last='w',ch=getchar();
	while (ch<'0' || ch>'9') last=ch,ch=getchar();
	while (ch>='0' && ch<='9') sum=sum*10+ch-'0',ch=getchar();
	if (last=='-') sum=-sum;
}
void EX_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if (b==0) x=1,y=0;
	else EX_gcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;	
}
int n,p;
int inv[3*1000001];
signed main()
{
//	freopen("M.in","r",stdin);
//	freopen("M.out","w",stdout);
	read(n);read(p);inv[n]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++) inv[n]*=i,inv[n]%=p;
	int x,y;
	EX_gcd(inv[n],p,x,y);
	inv[n]=x;
	for (int i=n-1;i>=1;i--)
		inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%p;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		printf("%lld ",(inv[i]+p*100)%p);
//	fclose(stdin);fclose(stdout);
	return 0;
}

Tags:乘法逆元 数论 信息学