概率和期望_简单了解

概率

基本事件定义：指试验中可能出现的一个结果

1. 必然事件
   定义：在此次试验中，必然发生的事件，即其$P$值为$100\%$
2. 不可能事件
   定义：在此次试验中，不可能发生的事件，其$P$值为$0$
3. 随机事件
   定义：在此次试验中，可能发生也可能不发生的事件，其$0⩽P⩽1$（当$P=1$时是必然事件，当$P=0$时是不可能事件）

概率定义：指一个随机事件发生的概率，通常用$P(A)$表示$A$事件发生的概率

其他事件定义（指几个互相有关联的事件）

1. 等可能事件：在一次试验中，它由$n$个基本事件组成，且每个基本事件发生的概率都是相等的，那么我们称这$n$个事件为等可能事件
2. 互斥事件：在一次试验中，由两个随机事件$A,B$，若$A$发生，则$B$不可能发生，若$B$发生，则$A$不可能发生，我们称它们为互斥事件（即$P(A\cap B)=\varnothing$，表示$A,B$不可能同时发生，$\varnothing$表示空集的意思）
3. 对立（互补）事件：在一次试验中，若在$A,B$事件中，$A和B$必然有一个且只有一个发生，那么我们称它们为对立（互补）事件（即$P(A\cup B)=S$，且$P(A\cap B)=\varnothing$，表示$A,B$中任意发生一个的事件存在与这个试验的所有集合里面，但$A,B$不能同时发生）
   （注意互斥事件与对立事件的区别）
4. 和事件：$(A\cup B)$称为$A,B$的和事件，表示$A,B$中任意发生一个的概率，有$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
5. 积事件：$(A\cap B)$称为$A,B$的积事件，表示$A,B$同时发生的概率，如果$A,B$互不干扰，有$P(A\cap B)=P(A)\ast P(B)$

概率的性质

1. 非负性：即$0⩽P(A)⩽1$
2. 如果$A,B$互为对立事件，则$P(A)+P(B)=1$
3. 一个重要的知识点伯努利大数定理（待补）

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期望

定义：是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和

计算：我们设$A_1,A_2...A_n$表示$n$种事件出现的概率，$P_1,P_2...P_n$表示这$n$种事件的值，则对于事件$X$的期望值$E(X)={\sum }_{i=1}^n{A}_i{P}_i$

概率与期望应用

Codeforces Round #730 (Div. 2)——C. Need for Pink Slips（题目）

题目大意：有三个数$c,m,p$，抽中他们的概率分别为$P_c,P_m,P_p$，抽到$p$游戏结束，抽到$c或m$，将其概率减$v（不足则减本身）$，然后平均分配到其他两个数上（若概率为$0$则不分，放到另一个身上），问游戏轮数的数学期望

分析：暴力$dfs$模拟即可，注意$double$精度判断问题

代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t;
double c,m,p,v,mans;
void dfs(double c,double m,double p,double v,double s,int j)
{
//	printf("%.6lf %.6lf %.6lf %.6lf %.6lf\n",c,m,p,v,s);
//	printf("dfs : %.6lf %.6lf\n",p*s*1.000000,s);
	mans+=p*s*1.000000*j;
	double g;
	if (c-0>=0.0000001)
	{
		if (c>=v) g=v;
		else g=c;
		c-=g;
		if (m-0>=0.0000001) m+=g/2;
		else p+=g/2;
		if (p-0>=0.0000001) p+=g/2;
		else m+=g/2;
		dfs(c,m,p,v,s*(c+g),j+1);
		c+=g;
		if (m-g/2==0) p-=g/2; else m-=g/2;
		if (p-g/2==0) m-=g/2; else p-=g/2; 
	}
	if (m-0>=0.0000001)
	{
		if (m>=v) g=v;
		else g=m;
		m-=g;
		if (c-0>=0.0000001) c+=g/2;
		else p+=g/2;
		if (p-0>=0.0000001) p+=g/2;
		else c+=g/2;
		dfs(c,m,p,v,s*(m+g),j+1);
		if (c-g/2==0) p-=g/2; else c-=g/2;
		if (p-g/2==0) c-=g/2; else p-=g/2; 
	}
}
int main()
{
	cin >> t;
	while (t--)
	{
		mans=0;
		cin >> c >> m >> p >> v;
		dfs(c,m,p,v,1,1);
		printf("%.6lf\n",mans);
	}
}