最长上升（不下降）子序列

最长上升（不下降）子序列

题目描述：给出$n$个数，求其最长上升（不下降）子序列。

分析：其实上升和不下降基本一致，一个$=$的区别，这里讨论不下降的情况。

方法1：$O(n^2)$ [$DP$]

1. 我们设$F_i$表示以$A_i$结尾的最长不下降子序列的长度，那么$F_i=$什么呢？
2. 因为它可以跟前面的拼接上，所以如果$A_i>=A_j(i>j)$，那么$F_i=max(F_i,F_j+1)（加上A_i）$

方法2：$O(n{\log }_{2}n)$ [$DP+队列优化+二分$]

1. 建立一个队列，从$A_1$~$A_n$遍历一遍，①如果队尾$F_{tail}<=A_i$，那么将$A_i$进入队列，表示$A_i$可以使当前最长不下降子序列增长$1$，②如果$F_{tail}>A_i$，那么我们发现它对当前是没有贡献的，但我们不是到它是否对之后的答案有贡献，那么我们可以从头到尾在队伍中找到第一个大于$A_i$的数，将它修改成$A_i$，这样其实对当前答案是没有影响的，但它可以使得之后的数和它，还有它前面的数，构成新的答案，从而保证我们答案的正确性
2. 对于第②个情况，我们可以用二分来优化它的查找时间，变成$O(lo{g}_{2}n)$

代码实现：

方法1：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

void read(int &sum)
{
	sum=0;char last='w',ch=getchar();
	while (ch<'0' || ch>'9') last=ch,ch=getchar();
	while (ch>='0' && ch<='9') sum=sum*10+ch-'0',ch=getchar();
	if (last=='-') sum=-sum;
}
int n;
int a[5010];
int f[5010];
int main()
{
//	freopen("M.in","r",stdin);
//	freopen("M.out","w",stdout);
	read(n);
	for (int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),f[i]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		for (int j=1;j<i;j++)
			if (a[j]<=a[i])
				f[i]=max(f[i],f[j]+1);
	}
	int ans=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		ans=max(ans,f[i]);
	printf("%d",ans);
//	fclose(stdin);fclose(stdout);
	return 0;
}

方法2：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

void read(int &sum)
{
	sum=0;char last='w',ch=getchar();
	while (ch<'0' || ch>'9') last=ch,ch=getchar();
	while (ch>='0' && ch<='9') sum=sum*10+ch-'0',ch=getchar();
	if (last=='-') sum=-sum;
}
int n;
int f[100010],tail;
int main()
{
//	freopen("M.in","r",stdin);
//	freopen("M.out","w",stdout);
	read(n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x;read(x);
		if (x>=f[tail]) f[++tail]=x;
		else
		{
			int l=1,r=tail;
			while (r-l>1)
			{
				int mid=(l+r)/2;
				if (f[mid]<=x) l=mid+1;
				else r=mid;
			}
			int g=1;
			if (f[r]>x) g=r;
			if (f[l]>x) g=l;
			f[g]=x;
		}
	}
	printf("%d",tail);
//	fclose(stdin);fclose(stdout);
	return 0;
}