loj#2540. 「PKUWC 2018」随机算法【概率dp+状压dp】

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本文介绍了一种优化的动态规划方法来解决独立集问题，通过减少状态数量将时间复杂度从O(n3^n)降低到O(n^22^n)。文中详细解释了如何利用已知的独立集外节点数进行转移操作合并，提供了完整的C++代码实现。

传送门

解题思路：

朴素的dp是 $O(n3^n)$ ，即每个点有三种状态：没考虑过，考虑了且在独立集中，考虑了但没在独立集中，需要优化。

设 $f[i][s]$ 表示考虑前 $i$ 个点，独立集为 $s$ 的方案数，主要的问题就在于对于一个当前轮不能加入独立集的点，是否在之前就被考虑过，但注意到考虑了但没在独立集中的点数我们是知道的，即 $i-bin[s](bin[s]为s中1的个数)$ ，那么当前轮不能加入独立集的点数为：
$n-bin[s]-cnt-(i-bin[s])=n-cnt-i\ \ \ \ \ (cnt为可加入独立集的点数)$

而不能加入独立集的点的转移都是 $f[i][s]\rightarrow f[i+1][s]$ ，这样就可已合并转移了，时间复杂度为 $O(n^22^n)$ .

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int getint()
{
    ll i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
    if(c=='-')c=getchar(),f=-1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}
const int N=25,mod=998244353;
int n,m,S,g[N],bin[1<<20];
ll f[N][1<<20];
ll Pow(ll x,int y)
{
    ll res=1;
    for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)
        if(y&1)res=res*x%mod;
    return res;
}
int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    n=getint(),m=getint(),S=1<<n;
    for(int i=1;i<S;i++)bin[i]=bin[i>>1]+(i&1);
    while(m--)
    {
        int x=getint(),y=getint();
        g[x]|=(1<<y-1),g[y]|=(1<<x-1);
    }
    f[0][0]=1;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int s=0;s<S;s++)if(f[i][s])
        {
            int cnt=0;
            for(int x=1;x<=n;x++)if((!(s>>x-1&1))&&(!(s&g[x])))
            {
                f[i+1][s|(1<<x-1)]=(f[i+1][s|(1<<x-1)]+f[i][s])%mod;
                cnt++;
            }
            f[i+1][s]=(f[i+1][s]+f[i][s]*(n-cnt-i))%mod;
        }
    ll ans=0,fac=1;for(int i=1;i<=n;i++)fac=fac*i%mod;
    int mx=0;
    for(int s=0;s<S;s++)if(f[n][s])
    {
        if(bin[s]>mx)ans=f[n][s],mx=bin[s];
        else if(bin[s]==mx)ans=(ans+f[n][s])%mod;
    }
    cout<<ans*Pow(fac,mod-2)%mod<<'\n';
}