Codeforces908D. New Year and Arbitrary Arrangement【期望dp】

最新推荐文章于 2021-01-19 12:24:15 发布

原创最新推荐文章于 2021-01-19 12:24:15 发布 · 383 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

--------动态规划-------- 同时被 3 个专栏收录

114 篇文章

订阅专栏

期望dp

18 篇文章

订阅专栏

Codeforces

5 篇文章

订阅专栏

本文探讨了一种特定的概率序列问题，即在给定概率条件下，求解ab子序列出现k次时的期望次数。通过定义状态转移方程，并利用差比数列方法计算终止状态值，最终得出了解决方案。

题目大意：

给定整数k,pa,pb。
初始有一个空序列，每次往末尾添加一个字符，有pa/(pa+pb)的概率添加a，有pb/(pa+pb)的概率添加b。
当ab作为子序列出现了至少k次的时候停止，问此时ab子序列出现次数的期望。对10^9+7取模。
1<=k<=1000，1<=pa,pb<=10^6。

解题思路：

设 $f [i] [j]$ 表示当前有 $i$ 个a， $j$ 个ab子序列到停止时的期望，那么
$f[i][j]=papa+pbf[i+1][j]+pbpa+pbf[i][j+i]f[i][j]=\frac{pa}{pa+pb}f[i+1][j]+\frac{pb}{pa+pb}f[i][j+i]$

其实以上都不是重点，重点在于定下目标状态和终止状态值。

1.目标状态：
如果我们把目标状态定为 $f [0] [0]$ ，那么
$f [0] [0] = (p a * f [1] [0] + p b * f [0] [0]) / (p a + p b)$ 会死循环，相当于一开始会有无穷多个b：bbbbb…….bbbbaababa…
但也可推出 $f [0] [0] = f [1] [0]$ ，所以目标状态应为 $f [1] [0]$ 。

2.终止状态：
当 $i+j≥ki+j\ge k$ 时，再出现一个b就会停止，所以当 $i+j≥ki+j\ge k$
$f[i][j]=(i+j)B+(i+j+1)AB+(i+j+2)A^2B+...$ 用差比数列的方法计算可得 $f[i][j]=i+j+papbf[i][j]=i+j+\frac{pa}{pb}$

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
    if(c=='-')c=getchar(),f=-1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}
const int N=1005,mod=1e9+7;
int k;ll pa,pb,inv_pb,f[N][N];
ll Pow(ll x,int y)
{
	ll res=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)
		if(y&1)res=res*x%mod;
	return res;
}
ll dfs(int i,int j)
{
	if(i+j>=k)return (i+j+pa*inv_pb)%mod;
	if(f[i][j]!=-1)return f[i][j];
	return f[i][j]=(dfs(i+1,j)*pa+dfs(i,j+i)*pb)%mod;
}
int main()
{
	//freopen("lx.in","r",stdin);
	memset(f,-1,sizeof(f));
	k=getint(),pa=getint(),pb=getint();
	pa=pa*Pow(pa+pb,mod-2)%mod,pb=(1-pa+mod)%mod,inv_pb=Pow(pb,mod-2);
	printf("%lld\n",dfs(1,0));
	return 0;
}