bzoj5252 [九省联考 2018] 林克卡特树【动态规划+二分凸包】

解题思路：

首先分析题意：就是求$k+1$条不相交的链，使其权值和最大。

第一个反应肯定是用费用流做，那么费用流有什么性质呢？
考虑增广过程，相当于每次都新找一条链出来（也会影响原来的链），不妨设找$i$条链的最优答案为$Ans_i$，那么有$Ans_i-Ans_{i-1}\ge Ans_{i+1}-Ans_{i}$，即是呈凸包状。

如果我们考虑拿一条斜率为$\lambda$的直线去切这个凸包，切到的点是什么？是每选一条链额外付出$\lambda$点代价时的最优解及选出的链数。于是我们二分这个斜率，再树形dp出当前代价下的最优解及链数，当选出的链数为$k+1$时，我们就找到了答案，即是$maxval+(k-1)\lambda$

树形dp就比较简单，设$f[i][0/1/2]$表示$i$号点与子树内$0/1/2$条路径相连时的最优解，顺便记录最优解下的链数即可。

ps：今年似乎挺流行这类题目，共同点都是基于树上费用流的优化，比如电科校赛中就有一道选树上最大权值匹配的题，和这题就一个思路，只是dp方式不同。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
    if(c=='-')c=getchar(),f=-1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}
const int N=300005;
int n,m,k;ll ans;
int tot,first[N],nxt[N<<1],to[N<<1],w[N<<1];
struct node
{
    ll val;int cnt;
    node(){}
    node(ll _val,int _cnt):val(_val),cnt(_cnt){}
    inline friend bool operator < (const node &a,const node &b)
    {return a.val<b.val||a.val==b.val&&a.cnt>b.cnt;}
}f[N][3],g[3],mx;
void add(int x,int y,int z)
{
    nxt[++tot]=first[x],first[x]=tot,to[tot]=y,w[tot]=z;
}
void dfs(int u,int fa)
{
    f[u][0]=node(0,0),f[u][1]=node(-m,1),f[u][2]=node(-m,1);
    for(int e=first[u];e;e=nxt[e])
    {
        int v=to[e];if(v==fa)continue;
        dfs(v,u);
        mx=max(f[v][0],max(f[v][1],f[v][2]));
        g[0]=f[u][0],g[1]=f[u][1],g[2]=f[u][2];
        f[u][0]=max(f[u][0],node(g[0].val+mx.val,g[0].cnt+mx.cnt));
        f[u][1]=max(f[u][1],node(g[1].val+mx.val,g[1].cnt+mx.cnt));
        f[u][1]=max(f[u][1],node(g[0].val+f[v][1].val+w[e],g[0].cnt+f[v][1].cnt));
        f[u][2]=max(f[u][2],node(g[2].val+mx.val,g[2].cnt+mx.cnt));
        f[u][2]=max(f[u][2],node(g[1].val+f[v][1].val+w[e]+m,g[1].cnt+f[v][1].cnt-1));
    }
}
int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    n=getint(),k=getint();
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x=getint(),y=getint(),z=getint();
        add(x,y,z),add(y,x,z);
    }
    int l=-1e9,r=1e9;
    while(l<=r)
    {
        m=l+r>>1;dfs(1,0);
        mx=max(f[1][0],max(f[1][1],f[1][2]));
        if(mx.cnt<=k+1)ans=m,r=m-1;
        else l=m+1;
    }
    m=ans;dfs(1,0);
    mx=max(f[1][0],max(f[1][1],f[1][2]));
    ans=mx.val+1ll*m*(k+1);
    printf("%lld\n",ans);
}