bzoj3817: Sum【类欧几里得算法】

题目大意：

给出$T\le1e4$组询问，对于每组询问，给定$n\le 1e9,R\le 1e4$，求：

$$\sum\limits_{i=1}^n(-1)^{\lfloor i\sqrt{R}\rfloor}$$

解题思路：

设$r=\sqrt{R}$，则$\lfloor{ir}\rfloor$为奇数时为-1，为偶数时为1，又有：

$$\lfloor{x}\rfloor-2\lfloor{\frac{x}{2}}\rfloor=\begin{cases}1,\lfloor{x}\rfloor\%2=1\\\\0,\lfloor{x}\rfloor\%2=0\end{cases}$$

所以：

$$ans=\sum\limits_{i=1}^n(1-2(\lfloor{ir}\rfloor-2\lfloor{\frac{ir}{2}}\rfloor))=n-2\sum\limits_{i=1}^n\lfloor{ir}\rfloor+4\sum\limits_{i=1}^n\lfloor{\frac{ir}{2}}\rfloor$$

那么如何求形如$f(k,n)=\sum\limits_{i=1}^n\lfloor{ki}\rfloor$呢？
还是用类欧几里得的方法：

当$k\ge1，f(k,n)=f(k-\lfloor{k}\rfloor,n)+\lfloor{k}\rfloor n(n+1)/2$

当$k<1$，$f(k,n)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[ki\ge j],m=\lfloor{kn}\rfloor$
注意这里与普通类欧的不同，这里$k$是小数，所以$ki\ge j$并不等价于$ki> j-1$,但当$j/k$不是整数时等价于$i>\lfloor{j/k}\rfloor$，所以当$r$为整数时我们直接计算，只讨论$r$为无理数的情况：

$f(k,n)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[i>\lfloor{j/k}\rfloor]$
$f(k,n)=\sum\limits_{j=1}^m(n-\lfloor{j/k}\rfloor)$
$f(k,n)=nm-f(\frac{1}{k},m)$
一直递归，当$n=0$时返回0，复杂度据说是$O(log)$的，但我并不会证……
（就是$n=kn,k=\frac{1}{k}-1$一直递归的复杂度）

注意不能斜率不能用double，会卡精，要用$k=\frac{ar+b}{c}$的形式维护整形三元组$(a,b,c)$才行，就两个操作，取小数部分和取倒数：

取小数：$\frac{ar+b}{c}-k=\frac{ar+b-k c}{c},k=\lfloor{\frac{ar+b}{c}}\rfloor$

取倒数：$\frac{c}{ar+b}=\frac{c(ar-b)}{(ar+b)(ar-b)}=\frac{acr-bc}{a^2R-b^2}$

迭代即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();c!='-'&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
    if(c=='-')f=-1,c=getchar();
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}
ll n,R;
double r;
ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
ll f(ll a,ll b,ll c,ll n)
{
    if(!n)return 0;
    ll g=gcd(a,gcd(b,c));
    a/=g,b/=g,c/=g;
    ll tmp=(a*r+b)/c; 
    b-=tmp*c,tmp*=n*(n+1)/2;
    ll m=(a*r+b)*n/c;
    return m*n+tmp-f(a*c,-b*c,a*a*R-b*b,m);
}
int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    for(int T=getint();T;T--)
    {
        n=getint(),R=getint(),r=sqrt(R);
        int x=r;
        if(x*x==R)printf("%d\n",(x&1)?((n&1)?-1:0):n);
        else printf("%d\n",n-2*f(1,0,1,n)+4*f(1,0,2,n));
    }
    return 0;
}