bzoj2118 墨墨的等式【最短路+背包问题】

最新推荐文章于 2022-04-06 20:41:44 发布

原创最新推荐文章于 2022-04-06 20:41:44 发布 · 631 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#bzoj #最短路 #背包问题

--------动态规划-------- 同时被 3 个专栏收录

114 篇文章

订阅专栏

--------图论--------

42 篇文章

订阅专栏

最短路

9 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种将无限背包问题转化为最短路径问题的方法，通过选取合适的模数p，利用SPFA算法求解每个余数值对应的最小重量，进而统计在给定重量区间内的可行方案数量。

解题思路：

相当于无限背包求可行方案数。

取任意一个a[i]，设为p；

那么考虑令d[i]表示当物体的总重%p=i时，物体最少的重量。设d[i]=t，那么显然对于所有的x，如果x%p=i且x>=t，都可以用总重最少的那个方案再加上若干个p得到。

同时，考虑加入一个物体u，那么显然有d[(i+u)%p]可以由d[i]+u得到，这相当于从i向(i+u)%p连一条长度为u的边，那么d[i]求最小值不就是求最短路吗？

所以无限背包求可行方案数就转化成最短路问题了。

由于点数等于p，所以取最小的a[i]作为p最好。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int N=500005;
const ll INF=1e18;
int n,p=1e9,a[15];
ll l,r,dis[N];
bool exist[N];
queue<int>q;

void SPFA()
{
    for(int i=0;i<p;i++)dis[i]=INF;
    dis[0]=0,q.push(0),exist[0]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop(),exist[u]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int v=(u+a[i])%p;
            if(dis[v]>dis[u]+a[i])
            {
                dis[v]=dis[u]+a[i];
                if(!exist[v])q.push(v),exist[v]=1;
            }
        }
    }   
}

ll query(ll x)
{
    ll res=0;
    for(int i=0;i<p;i++)
        if(dis[i]<=x)res+=(x-dis[i])/p+1;
    return res;
}

int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    scanf("%d%lld%lld",&n,&l,&r);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        if(!a[i]){i--,n--;continue;}
        p=min(p,a[i]);
    }
    SPFA();
    printf("%lld\n",query(r)-query(l-1));
    return 0;
}