NOIP模拟赌博游戏【概率dp】

最新推荐文章于 2025-04-24 12:03:30 发布

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概率dp

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本文介绍了一种基于概率动态规划解决特定游戏问题的方法。通过三维动态规划数组来记录投掷骰子过程中的状态转移，最终求得玩家猜测点数之和正确的概率。

题目描述

最近西雅图的高中校园里流行这样一个游戏。

我们有一个骰子，这个骰子有M个面，分别写着1..M，并且是个公平的骰子，换句话说，一次投掷时每个面朝上的概率是相同的。

游戏的组织者使用这个骰子进行N次投掷，并且告诉玩家点数v出现了至少一次。那么玩家需要猜测N次投掷的点数之和。如果猜对了，就赢得了这个游戏。

小宇也喜欢玩这个游戏。在一次游戏中，她猜测了一个正整数sum，于是她想知道猜对的概率是多少。

输入格式

输入文件仅一行，包括4个正整数N, M, v, sum。

输出格式

输出文件包括一行，一个实数，保留8位小数，表示猜对的概率。

样例数据 1

输入　 [复制]

2 6 6 12

输出

0.09090909

样例数据 2

输入　 [复制]

2 3 2 4

输出

0.20000000

备注

【数据规模与约定】
10%的数据满足：N=1。
40%的数据满足：1≤N,M≤20。
100%的数据满足：1≤N,M≤50；1≤v≤M；1≤sum≤N*M。

解题思路：

较裸的一道概率dp，很容易想到用dp[i][j]表示掷了i轮骰子，总和为j的情况，但题目中要求必须掷过v，所以多加一维[0/1]表示掷没掷到过v，最后的概率即为dp[n][sum][1]除以 $\sum$ dp[n][j][1]。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#define ll long long
using namespace std;

int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c<'0'||c>'9')&&c!='-';c=getchar());
    if(c=='-')f=-1,c=getchar();
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}

const int N=55,M=2505;
int n,m,v,sum;
double tot,ans,f[N][M][2];

int main()
{
    //freopen("gamb.in","r",stdin);
    n=getint(),m=getint(),v=getint(),sum=getint();
    f[0][0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int k=1;k<=m;k++)
            for(int j=max(k,i);j<=i*m;j++)
            {
                if(k!=v)f[i][j][0]+=f[i-1][j-k][0]*1.0/m;
                else f[i][j][1]+=f[i-1][j-k][0]*1.0/m;
                f[i][j][1]+=f[i-1][j-k][1]*1.0/m;
            }
    for(int j=1;j<=n*m;j++)tot+=f[n][j][1];
    ans=f[n][sum][1]/tot;
    printf("%0.8f",ans);
    return 0;
}