NOIP模拟 Math 【同余】

最新推荐文章于 2019-07-19 11:57:07 发布

Neo__Z

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本文探讨了给定a和n时，求满足特定条件的正整数b的数量，通过分析a和b的奇偶性及利用快速幂算法进行枚举，解决了模2^n意义下a^b ≡ b^a的解数问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：

给出a,n,求有多少个正整数b满足 $a^b\equiv b^a$ (mod $2^n$ )，（ $1\le n \le30$ ， $1\le a\le 10^9$ ）;

解题思路：

再一次认识到了打表找规律的重要性。

显然 $a，b$ 奇偶要相同。

对于 $a$ 为奇数的情况，打表就可以发现， $b$ 唯一（ $b=a$ 或 $b\equiv a$ (mod $2^n$ )）。

而对于a为偶数的情况，b也一定是偶数。
若 $b\ge n$ ,则 $a^b\equiv 0$ (mod $2^n$ ),所以 $b^a\equiv 0$ (mod $2^n$ )，设 $b=(2^k*c$ )( $c$ 为奇数)，则 $(2^k*c)^a≡0$ (mod $2^n)$ ，所以 $2^{ka}\ge2^n$ ，所以 $ka\ge n，k\ge(n+a-1)/a$ ，所以b一定是 $2^{(n+a-1)/a}$ 的倍数。
若 $b<n$ ,直接枚举快速幂即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<set>
#define ll long long
using namespace std;

int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c<'0'||c>'9')&&c!='-';c=getchar());
    if(c=='-')f=-1,c=getchar();
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}

int T,n;

int ksm(int x,int y)
{
    int res=1;
    for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%(1<<n))
        if(y&1)res=1ll*res*x%(1<<n);
    return res;
}

int main()
{
    //freopen("math.in","r",stdin);
    //freopen("math.out","w",stdout);
    int a,b;
    T=getint();
    while(T--)
    {
        a=getint(),n=getint();
        if(a&1)
        {
            puts("1");
            continue;
        }
        int ans=0;
        for(b=1;b<=n;b++)
            if(ksm(b,a)==ksm(a,b))ans++;
        int k=(n+a-1)/a;
        ans+=((1<<n)>>k)-(n>>k);
        cout<<ans<<'\n';
    }
    return 0;
}