本文探讨了利用生成函数解决复杂组合问题的方法，通过解析特定序列的生成函数，展示了一种优雅的数学技巧。文章深入讲解了指数型生成函数的应用，以及如何通过e的Taylor展开简化表达式。
传送门
解析：
设
n
n
n位数的答案为
a
n
a_n
an，则显然
{
a
n
}
\{a_n\}
{an}的生成函数为：
A
(
x
)
=
(
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
.
.
.
)
2
×
(
1
+
x
1
+
x
2
2
!
+
.
.
.
)
3
A(x)=(1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...)^2\times (1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}+...)^3
A(x)=(1+2!x2+4!x4+...)2×(1+1x+2!x2+...)3
对于这种同类排列需要去重，就需要指数型生成函数。当然现在拿到这样一个式子，如果你是真正的猛士，可以尝试暴力化简（也做得出来）。
一个稍微优美一点的方法是借助
e
x
e^x
ex的Taylor展开：
e
x
=
∑
i
=
0
∞
x
n
n
!
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
.
.
.
e^x=\sum_{i=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...
ex=i=0∑∞n!xn=1+x+2!x2+3!x3+...
那么我们有： e − x = 1 − x + x 2 2 ! − x 3 3 ! + . . . e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+... e−x=1−x+2!x2−3!x3+...
所以原式的第一部分化简为： 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + . . . = ( e x + e − x ) / 2 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...=(e^x+e^{-x})/2 1+2!x2+4!x4+...=(ex+e−x)/2
所以 A ( x ) = 1 4 ( e x + e − x ) 2 × e 3 x = 1 4 ( e 5 x + 2 e 3 x + e x ) = 1 4 ∑ i = 0 ∞ ( 5 i + 2 × 3 i + 1 ) × x i i ! \begin{aligned} A(x)&=\frac{1}{4}(e^x+e^{-x})^2\times e^{3x}\\ &=\frac{1}{4}(e^{5x}+2e^{3x}+e^x)\\ &=\frac{1}{4}\sum_{i=0}^\infty (5^i+2\times 3^i+1)\times \frac{x^i}{i!} \end{aligned} A(x)=41(ex+e−x)2×e3x=41(e5x+2e3x+ex)=41i=0∑∞(5i+2×3i+1)×i!xi
所以 a i = 1 4 ( 5 i + 2 × 3 i + 1 ) a_i=\frac{1}{4}(5^i+2\times 3^i+1) ai=41(5i+2×3i+1)
这种难度全在推理的题就不放代码了，就一个快速幂。
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