24、微分方程与微分代数方程的隐式求解方法

微分方程与微分代数方程的隐式求解方法

1. 隐式求解微分方程

1.1 刚性常微分方程的梯形法

对于刚性常微分方程，可使用AM - 2（梯形）方法求解。AM - 2梯形法的公式为：
[y_{k + 1}=y_{k}+\frac{h}{2}[f(t_{k},y_{k})+f(t_{k + 1},y_{k + 1})]+\mathcal{O}(h^{3})]
将其改写为：
[g(y_{k + 1})=y_{k + 1}-y_{k}-\frac{h}{2}[f(t_{k},y_{k})+f(t_{k + 1},y_{k + 1})]=0]

1.1.1 单变量刚性常微分方程的隐式梯形法示例

问题 ：使用AM - 2梯形法求解常微分方程初值问题（ODE - IVP），并与ode45的结果进行比较。
解决方案 ：

% Solving single ODE using
% Adam-Moulton Second Order (Trapezoidal)
y0 = 2;
t0 = 0; tN = 1;
f = @(t,y) -1000*y + 999*exp(-t);
%% Solving using ode45 for comparison
[tSol,ySol] = ode45(f,[t0 tN],y0);
plot(tSol,ySol); hold on
xlabel('t'); ylabel('y(t)');
%% Setting up AM-2 Trapezoidal