6、2D和3D视觉形成中的矩阵计算与优化

2D和3D视觉形成中的矩阵计算与优化

在计算机视觉领域，2D和3D视觉的形成涉及到诸多复杂的数学计算，其中矩阵的计算和优化是关键环节。本文将深入探讨相关的矩阵计算方法，包括三焦点张量的推导、基本矩阵和本质矩阵的求解，以及点归一化等重要步骤。

1. 三焦点张量的推导

对矩阵（3.45）的子式分析进一步扩展可得到更高阶的张量。例如，三焦点张量可通过类似方法，基于矩阵 $H_3$ 得到。从秩条件 $det(H_3) = 0$ 可推导出三焦点约束：
$T_{jk}^i p_i^1 \epsilon_{jj’j’‘} p_{j’}^2 \epsilon_{kk’k’‘} p_{k’}^3 = 0$
其中，
$T_{jk}^i = \epsilon_{ii’i’‘} det\begin{bmatrix}M_{i’}^1 \ M_{i’‘}^1 \ M_j^2 \ M_k^3\end{bmatrix}$
三焦点张量是三阶混合张量的一个例子，其中图像的顺序也很重要，因为第一张图像的处理方式不同。

2. 本质矩阵和基本矩阵的求解

2.1 基本原理

3×3的本质矩阵 $E$ 和基本矩阵 $F$ 可分别基于（3.21）和（3.29）确定。由于这些公式使用齐次坐标，任何解都可在一定比例因子下确定，因此只需八个不同的匹配点对即可求解 $E$ 或 $F$，这就是最简单的线性方法——八点算法。

2.2 公式推导

（3.29）可改写为：
$\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} p_{ri} F_{ij} p_{lj} = 0$
进一步改写为