33、密码学中的格与卷积多项式环：NTRU公钥密码系统解析

密码学中的格与卷积多项式环：NTRU公钥密码系统解析

1. 引言

在密码学领域，格密码系统和卷积多项式环是重要的研究方向。格密码系统如GGH，在低维度下存在一定的安全隐患，而NTRU公钥密码系统则基于卷积多项式环构建，展现出独特的优势。下面将深入探讨这些密码系统的原理、特点及相关数学问题。

2. GGH密码系统的局限性

GGH是一种概率密码系统，单个明文由于随机扰动r的选择会产生许多不同的密文。例如，设 $v = 86w_1 - 35w_2 - 32w_3$ 为正确的明文向量。当Eve试图使用公开基 $w_1, w_2, w_3$ 应用Babai算法解密Bob的消息时，她得到近似向量 $e \approx 75.76w_1 - 34.52w_2 - 24.18w_3$，取整后得到格向量 $v’ = 75w_1 - 35w_2 - 24w_3 = (-79508353, -35809745, 11095049)$，该向量与 $e$ 接近，但得到的明文 $(76, -35, -24)$ 是错误的，正确明文应为 $m = (86, -35, -32)$。通过计算 $|e - v| \approx 5.3852$ 和 $|e - v’| \approx 472000$，可以看出使用公开基解密的误差较大。

在低维度（如维度为3）下，GGH密码系统并不安全。即使使用足够大的数字使得穷举搜索不切实际，仍存在高效算法来寻找好的基。在二维情况下，高斯就提出了寻找好基的算法，而对于任意维度，LLL算法是一个强大的推广。

此外，GGH密码系统存在潜在危险。如果Bob使用不同的随机扰动发送相同消息，或者使用相同的随机扰动发送不同消息，可能会泄露信息。因此，在实