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几种量子信道的动态容量区域分析
1. 引言
在量子通信领域，不同类型的信道具有各自独特的特性，其动态容量区域的研究对于优化通信效率和资源分配至关重要。本文将详细探讨几种常见量子信道，包括 Hadamard 信道、去相位信道、量子擦除信道和纯损耗玻色子信道的动态容量区域。
2. Hadamard 信道
2.1 基本性质
对于 Hadamard 信道，有一个重要的结论：其动态容量区域 $C_{CQE}(N_H)$ 等于其单字母区域 $C_{CQE}^{(1)}(N_H)$。证明该结论分为两部分：
- 引理 25.5.1 表明，当其中一个信道为 Hadamard 信道时，量子动态容量公式具有可加性，即对于 Hadamard 信道 $N_H$、任意其他信道 $N$ 以及所有 $\vec{\lambda}$（满足 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \geq 0$），有 $D_{\vec{\lambda}}(N_H \otimes N) = D_{\vec{\lambda}}(N_H) + D_{\vec{\lambda}}(N)$。
- 通过引理 25.4.1 中的归纳论证建立单字母化。
2.2 可加性证明
我们先证明不等式 $D_{\vec{\lambda}}(N_H \otimes N) \geq D_{\vec{\lambda}}(N_H) + D_{\vec{\lambda}}(N)$。对于任意两个信道，只需在最大化过程中选择状态 $\sigma$ 为分别使 $D_{\vec{\lambda}}(N_H)$ 和 $D_{\vec{\lambda}}(N)$ 最大化的状态的张量积即可。
接下来证明非平凡不等式 $D_{\vec{\lambda}}(N_H \otimes N) \leq D_{\vec{\lambda}}(N_H) + D_{\vec{\lambda}}(N)$。由于第一个信道是 Hadamard 信道，它是可降解的，其降解信道具有特定结构：存在信道 $D_1^{B_1 \to Y}$ 和 $D_2^{Y \to E_1}$（其中 $Y$ 是经典寄存器），使得降解信道为 $D_2^{Y \to E_1} \circ D_1^{B_1 \to Y}$。
假设输入到张量积信道的状态为：
$\rho_{XAA’_1A’_2} \equiv \sum_x p_X(x)|x\rangle\langle x|_X \otimes \varphi_x^{AA’_1A’_2}$
第一个信道的输出为：
$\theta_{XAB_1E_1A’
2} \equiv U
{N_H}^{A’
1 \to B_1E_1}(\rho
{XAA’_1A’_2})$
第二个信道的输出为：
$\omega_{XAB_1E_1B_2E_2} \equiv U_{N}^{A’
2 \to B_2E_2}(\theta
{XAB_1E_1A’_2})$
最后，将降解信道的第一部分（完全投影测量）应用于 $\omega$ 得到状态：
$\sigma_{XYAE_1B_2E_2} \equiv D_1^{B_1 \to Y}(\omega_{XAB_1E_1B_2E_2})$
在系统 $AE_1B_2E_2$ 上，当以 $X$ 和 $Y$ 为条件时，状态 $\sigma$ 是纯态。以下是一系列不等式：
$D_{\vec{\lambda}} (N_H \otimes N) = \lambda_1I(AX; B_1B_2)
{\omega} + \lambda_2I(A\rangle B_1B_2X)
{\omega} + \lambda_3 [I(X; B_1B_2)
{\omega} + I(A\rangle B_1B_2X)
{\omega}]$
$= \lambda_1H(B_1B_2E_1E_2|X)
{\omega} + \lambda_2H(B_1B_2|X)
{\omega} + (\lambda_1 + \lambda_3) H(B_1B_2)
{\omega} - (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3) H(E_1E_2|X)
{\omega}$
$= \lambda_1H(B_1E_1|X)
{\omega} + \lambda_2H(B_1|X)
{\omega} + (\lambda_1 + \lambda_3) H(B_1)
{\omega} - (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3) H(E_1|X)
{\omega} + \lambda_1H(B_2E_2|B_1E_1X)
{\omega} + \lambda_2H(B_2|B_1X)
{\omega} + (\lambda_1 + \lambda_3) H(B_2|B_1)
{\omega} - (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3) H(E_2|E_1X)
{\omega}$
$\leq \lambda_1H(B_1E_1|X)
{\theta} + \lambda_2H(B_1|X)
{\theta} + (\lambda_1 + \lambda_3) H(B_1)
{\theta} - (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3) H(E_1|X)
{\theta} + \lambda_1H(B_2E_2|Y X)
{\sigma} + \lambda_2H(B_2|Y X)
{\sigma} + (\lambda_1 + \lambda_3) H(B_2)
{\sigma} - (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3) H(E_2|Y X)
{\sigma}$
$= \lambda_1I(AA’
2X; B_1)
{\theta} + \lambda_2I(AA’
2\rangle B_1X)
{\theta} + \lambda_3 [I(X; B_1)
{\theta} + I(AA’_2\rangle B_1X)
{\theta}] + \lambda_1I(AE_1Y X; B_2)
{\sigma} + \lambda_2I(AE_1\rangle B_2Y X)
{\sigma} + \lambda_3 [I(Y X; B_2)
{\sigma} + I(AE_1\rangle B_2Y X)
{\sigma}]$
$\leq D_{\vec{\lambda}} (N_H) + D_{\vec{\lambda}}(N)$
其中，第一个等式通过在状态 $\rho$ 上计算量子动态容量公式得到；接下来的两个等式通过重新排列熵项并利用以 $X$ 为条件时系统 $AB_1E_1B_2E_2$ 上状态 $\omega$ 为纯态的性质得到；中间的不等式是关键的一步，它源于信道的 Hadamard 结构，利用了条件熵相对于量子信道的单调性，即：
$H(B_2|B_1X)
{\omega} \leq H(B_2|Y X)
{\sigma}$
$H(B_2E_2|B_1E_1X)
{\omega} \leq H(B_2E_2|Y X)
{\sigma}$
$H(E_2|Y X)
{\sigma} \leq H(E_2|E_1X)
{\omega}$
$H(B_2|B_1)
{\omega} \leq H(B_2)
{\omega}$
最后一个等式通过重新排列熵项得到，最后的不等式是因为 $\theta$ 是适合第一个信道的形式为 (25.11) 的状态，而 $\sigma$ 是适合第二个信道的形式为 (25.11) 的状态。
2.3 流程图
graph TD;
A[输入状态 ρ] --> B[第一个信道输出 θ];
B --> C[第二个信道输出 ω];
C --> D[应用降解信道第一部分得到 σ];
D --> E[计算 D_λ (N_H ⊗ N)];
E --> F[一系列不等式推导];
F --> G[得出 D_λ (N_H ⊗ N) ≤ D_λ (N_H) + D_λ (N)];
3. 去相位信道
3.1 信道定义
去相位信道 $\Delta_p$ 定义为：
$\Delta_p(\rho) \equiv (1 - p)\rho + p\Delta(\rho)$
其中，$\Delta(\rho) \equiv \langle 0|\rho|0\rangle|0\rangle\langle 0| + \langle 1|\rho|1\rangle|1\rangle\langle 1|$，$p \in [0, 1]$。
3.2 动态容量区域
去相位信道 $\Delta_p$ 的动态容量区域 $C_{CQE}(\Delta_p)$ 是所有满足以下条件的 $C$、$Q$ 和 $E$ 的集合：
$C + 2Q \leq 1 + h_2(\nu) - h_2(\gamma(\nu, p))$
$Q + E \leq h_2(\nu) - h_2(\gamma(\nu, p))$
$C + Q + E \leq 1 - h_2(\gamma(\nu, p))$
其中，$\nu \in [0, 1/2]$，$h_2$ 是二元熵函数，$\gamma(\nu, p) \equiv \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{1 - 16 \cdot p^2(1 - p^2)\nu(1 - \nu)}$。
3.3 证明过程
- 由于去相位信道是 Hadamard 信道，其区域可以单字母化，因此只需简化在信道的单个副本上计算的量子动态容量公式。
-
可以证明，考虑其约化到 $A’$ 在去相位基下为对角的纯态系综就足够了。具体来说，通过以下练习可以得出结论：
-
对于广义去相位信道 $N_D$、其互补信道 $N_D^c$、完全去相位信道 $\Delta$ 以及所有输入状态 $\rho$，有：
$N_D(\Delta(\rho)) = \Delta(N_D(\rho))$
$N_D^c(\Delta(\rho)) = N_D^c(\rho)$ -
由此可以得出：
$H(\rho) \leq H(\Delta(\rho))$
$H(N_D(\rho)) \leq H(\Delta(N_D(\rho))) = H(N_D(\Delta(\rho)))$
$H(N_D^c(\rho)) = H(N_D^c(\Delta(\rho)))$ - 所以，对于去相位信道，考虑对角输入状态就足够了。
-
对于广义去相位信道 $N_D$、其互补信道 $N_D^c$、完全去相位信道 $\Delta$ 以及所有输入状态 $\rho$，有：
-
进一步证明，考虑以下形式的系综就足以表征区域的边界点：
$\frac{1}{2}|0\rangle\langle 0| X \otimes \psi_0^{AA’} + \frac{1}{2}|1\rangle\langle 1|_X \otimes \psi_1^{AA’}$
其中，$\psi_0^{AA’}$ 和 $\psi_1^{AA’}$ 是纯态，对于 $\nu \in [0, 1/2]$ 定义为：
$\text{Tr}_A[\psi_0^{AA’}] = \nu|0\rangle\langle 0| {A’} + (1 - \nu) |1\rangle\langle 1| {A’}$
$\text{Tr}_A[\psi_1^{AA’}] = (1 - \nu) |0\rangle\langle 0| {A’} + \nu|1\rangle\langle 1|_{A’}$
假设不失一般性地认为去相位基是计算基。考虑具有有限数量 $N$ 个条件密度算子 $\varphi_x^{AA’}$ 且其约化到 $A’$ 为对角的经典 - 量子态：
$\rho_{XAA’} \equiv \sum_{x = 0}^{N - 1} p_X(x)|x\rangle\langle x|_X \otimes \varphi_x^{AA’}$
可以通过“比特翻转”原始条件密度算子形成一个具有双倍数量条件密度算子的新经典 - 量子态：
$\sigma_{XAA’} \equiv \frac{1}{2}\sum_{x = 0}^{N - 1} p_X(x) (|x\rangle\langle x|
X \otimes \varphi_x^{AA’} + |x + N\rangle\langle x + N|_X \otimes X
{A’}\varphi_x^{AA’}X_{A’})$
其中，$X$ 是 $\sigma_X$ “比特翻转”泡利算子。对于所有 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \geq 0$，有以下不等式链：
$\lambda_1I(AX; B)
{\rho} + \lambda_2I(A\rangle BX)
{\rho} + \lambda_3 [I(X; B)
{\rho} + I(A\rangle BX)
{\rho}]$
$= \lambda_1H(A|X)
{\rho} + (\lambda_1 + \lambda_3) H(B)
{\rho} + \lambda_2H(B|X)
{\rho} - (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3) H(E|X)
{\rho}$
$\leq (\lambda_1 + \lambda_3) H(B)
{\sigma} + \lambda_1H(A|X)
{\sigma} + \lambda_2H(B|X)
{\sigma} - (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3) H(E|X)
{\sigma}$
$= (\lambda_1 + \lambda_3) + \lambda_1H(A|X)
{\sigma} + \lambda_2H(B|X)
{\sigma} - (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3) H(E|X)
{\sigma}$
$= (\lambda_1 + \lambda_3) + \sum_x p_X(x) [\lambda_1H(A)
{\varphi_x} + \lambda_2H(B)
{\varphi_x} - (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3) H(E)
{\varphi_x}]$
$\leq (\lambda_1 + \lambda_3) + \max_x [\lambda_1H(A)
{\varphi_x} + \lambda_2H(B)
{\varphi_x} - (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3) H(E)
{\varphi_x}]$
$= (\lambda_1 + \lambda_3) + \lambda_1H(A)
{\varphi_{x^
}} + \lambda_2H(B)
{\varphi
{x^
}} - (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3) H(E)
{\varphi
{x^*}}$
第一个等式通过标准的熵操作得到；第二个等式是因为条件熵 $H(B|X)$ 在与信道对易的输入状态上的比特翻转幺正变换下是不变的，并且输入状态上的比特翻转不会改变去相位信道互补信道输出的特征值；第一个不等式是因为熵是凹函数，即局部状态 $\sigma_B$ 是 $\rho_B$ 的混合版本；第三个等式是因为 $H(B) {\sigma_B} = H\left(\sum_x \frac{1}{2}p_X(x)(\rho_x^B + X\rho_x^BX)\right) = H\left(\frac{1}{2}\sum_x p_X(x)I\right) = 1$；第四个等式是因为系统 $X$ 是经典的；第二个不等式是因为随机变量实现的最大值不小于其期望值；最后的等式通过定义 $\varphi {x^*}$ 为在系统 $A$、$B$ 和 $E$ 上的条件密度算子，该算子由发送一个其约化到 $A’$ 为 $\nu|0\rangle\langle 0| {A’} + (1 - \nu) |1\rangle\langle 1| {A’}$ 形式的状态通过信道得到。因此，形式为 (25.138) 的系综足以达到区域的边界点。在上述形式的状态上计算定理 25.2.1 中的熵量，就可以得到定理 25.5.2 中区域的表达式。
3.4 表格
| 参数 | 含义 |
|---|---|
| $p$ | 去相位参数，$p \in [0, 1]$ |
| $\nu$ | 用于表征状态的参数，$\nu \in [0, 1/2]$ |
| $h_2$ | 二元熵函数 |
| $\gamma(\nu, p)$ | 定义为 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{1 - 16 \cdot p^2(1 - p^2)\nu(1 - \nu)}$ |
| $C$ | 经典通信速率 |
| $Q$ | 量子通信速率 |
| $E$ | 纠缠消耗速率 |
4. 量子擦除信道
4.1 信道定义
量子擦除信道 $N^{\varepsilon}$ 定义为：
$N^{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon|e\rangle\langle e|$
其中，$\rho$ 是 $d$ 维输入状态，$|e\rangle$ 是与所有输入正交的擦除标志状态（使得输出空间的维度为 $d + 1$），$\varepsilon \in [0, 1]$ 是擦除概率。
4.2 动态容量区域
对于 $\varepsilon \in [0, 1/2]$ 的量子擦除信道 $N^{\varepsilon}$，其量子动态容量区域 $C_{CQE}(N^{\varepsilon})$ 等于通过改变 $\lambda \in [0, 1]$ 得到的以下区域的并集：
$C + 2Q \leq (1 - \varepsilon) (1 + \lambda) \log d$
$Q + E \leq (1 - 2\varepsilon) \lambda \log d$
$C + Q + E \leq (1 - \varepsilon - \varepsilon\lambda) \log d$
该区域对于 $\varepsilon \in (1/2, 1]$ 是可实现的。
4.3 证明过程
4.3.1 可实现性证明
选择一个特定的系综来证明上述速率区域是可实现的。设 $|\varphi\rangle_{AA’} \equiv \sum_x \sqrt{p_X(x)}|x\rangle_A|x\rangle_{A’}$，其中 ${|x\rangle_A}$ 和 ${|x\rangle_{A’}}$ 分别是系统 $A$ 和 $A’$ 的标准计算基。注意到 $H(p_X) = H(A) {\varphi}$。取输入系综为 ${1/d, X(x) {A’}|\varphi\rangle_{AA’}}$，其中 $X(x) {A’}$ 是海森堡 - 魏尔平移算子。这个系综具有系统 $A’$ 上的期望密度算子是最大混合态 $\pi {A’}$ 的性质。
用于评估定理 25.2.1 中速率的经典 - 量子态为：
$\rho_{XAB} \equiv \sum_x \frac{1}{d}|x\rangle\langle x|
X \otimes N^{\varepsilon}
{A’ \to B}[X(x)
{A’}|\varphi\rangle\langle\varphi|
{AA’}X^{\dagger}(x)
{A’}]$
$= (1 - \varepsilon) \rho_0^{XAA’} + \varepsilon\rho_1^{XAB}$
其中，
$\rho_0^{XAA’} \equiv \sum_x \frac{1}{d}|x\rangle\langle x|_X \otimes X(x)
{A’}|\varphi\rangle\langle\varphi|
{AA’}X^{\dagger}(x)
{A’}$
$\rho_1^{XAB} \equiv \sum_x \frac{1}{d}|x\rangle\langle x|_X \otimes \varphi_A \otimes |e\rangle\langle e|_B$
从定理 25.2.1 可知，只需计算以下三个信息度量：$I(AX; B)
{\rho}$、$I(A\rangle BX)
{\rho}$ 和 $I(X; B)_{\rho}$。可以对 $B$ 系统执行以下等距变换而不影响任何信息度量：
$[|0\rangle\langle 0| + \cdots + |d - 1\rangle\langle d - 1|] \otimes |0\rangle_Y + |e\rangle\langle e| \otimes |1\rangle_Y$
设 $\omega_{XABY}$ 为得到的状态：
$\omega_{XABY} \equiv (1 - \varepsilon) \rho_0^{XAA’} \otimes |0\rangle\langle 0|_Y + \varepsilon\rho_1^{XAB} \otimes |1\rangle\langle 1|_Y$
观察到 $\omega_{XAY} = \pi_X \otimes \varphi_A\otimes[(1 - \varepsilon) |0\rangle\langle 0|
Y + \varepsilon|1\rangle\langle 1|_Y]$，则有：
$I(AX; B)
{\rho} = I(AX; BY)
{\omega} = I(AX; B|Y)
{\omega}$
$I(A\rangle BX)
{\rho} = I(A\rangle BXY)
{\omega} = I(A\rangle BX|Y)
{\omega}$
$I(X; B)
{\rho} = I(X; BY)
{\omega} = I(X; B|Y)
{\omega}$
依次计算这些度量：
$I(AX; B|Y)
{\omega} = (1 - \varepsilon) I(AX; A’)
{\rho_0} + \varepsilon I(AX; B)
{\rho_1} = (1 - \varepsilon) (\log d + H(p_X))$
$I(A\rangle BX|Y)
{\omega} = (1 - \varepsilon) I(A\rangle A’X)
{\rho_0} + \varepsilon I(A\rangle BX)
{\rho_1} = (1 - \varepsilon) H(p_X) + \varepsilon [-H(p_X)] = (1 - 2\varepsilon) H(p_X)$
$I(X; B|Y)
{\omega} = (1 - \varepsilon) I(X; A’)
{\rho_0} + \varepsilon I(X; B)_{\rho_1} = (1 - \varepsilon) (\log d - H(p_X))$
通过定理 25.2.1，可以选择分布 $p_X$ 使得 $H(p_X) = \lambda \log d$ 对于所有 $\lambda \in [0, 1]$，从而实现定理中陈述的速率区域。
4.3.2 最优性证明
对 $(N^{\varepsilon})^{\otimes n}$ 的量子动态容量公式进行上界约束，从而证明对于 $\varepsilon \in [0, 1/2]$，定理中给出的区域是最优的。考虑一个擦除信道 $N^{\varepsilon}
{A_1 \to B_1}$ 和一个任意可降解信道 $M
{A_2 \to B_2}$ 的量子动态容量公式。对擦除信道的输出 $B_1$ 应用等距变换 (25.156)，$N^{\varepsilon}
{A_1 \to B_1} \otimes M
{A_2 \to B_2}$ 的量子动态容量公式变为：
$\lambda_1I(AX; B_1Y B_2)
{\sigma} + \lambda_2I(A\rangle B_1Y B_2X)
{\sigma} + \lambda_3 [I(X; B_1Y B_2)
{\sigma} + I(A\rangle B_1Y B_2X)
{\sigma}]$
其中，
$\sigma_{XAB_1B_2Y} \equiv \sigma_0^{XAA_1B_2} \otimes (1 - \varepsilon) |0\rangle\langle 0|
Y + \sigma_1^{XAB_1B_2} \otimes \varepsilon|1\rangle\langle 1|_Y$
$\sigma_0^{XAA_1B_2} \equiv \sum_x p_X(x)|x\rangle\langle x|_X \otimes M
{A_2 \to B_2}(\varphi_x^{AA_1A_2})$
$\sigma_1^{XAB_1B_2} \equiv \sum_x p_X(x)|x\rangle\langle x|
X \otimes M
{A_2 \to B_2}(\varphi_x^{AA_2}) \otimes |e\rangle\langle e|_{B_1}$
注意到 $\sigma_0^{XAB_2} = \sigma_1^{XAB_2} = \sigma_{XAB_2}$，所以 $\sigma_{XAB_2Y} = \sigma_{XAB_2} \otimes [(1 - \varepsilon) |0\rangle\langle 0|_Y + \varepsilon|1\rangle\langle 1|_Y]$。
首先处理量子互信息项：
$I(AX; B_1Y B_2)
{\sigma} = I(AX; B_1B_2|Y)
{\sigma} = (1 - \varepsilon) I(AX; A_1B_2)
{\sigma_0} + \varepsilon I(AX; B_2)
{\sigma_1} = (1 - \varepsilon) [I(AX; B_2)
{\sigma_0} + I(AX; A_1|B_2)
{\sigma_0}] + \varepsilon I(AX; B_2)
{\sigma_1} = (1 - \varepsilon) [I(AX; B_2)
{\sigma} + I(AX; A_1|B_2)
{\sigma_0}] + \varepsilon I(AX; B_2)
{\sigma} = (1 - \varepsilon) I(AX; A_1|B_2)
{\sigma_0} + I(AX; B_2)
{\sigma}$
可以对项 $I(AX; A_1|B_2)
{\sigma_0}$ 进行上界约束：
$I(AX; A_1|B_2)
{\sigma_0} = H(A_1|B_2)
{\sigma_0} - H(A_1|B_2AX)
{\sigma_0} = H(A_1|B_2)
{\sigma_0} + H(A_1|E_2X)
{\sigma_0} \leq \log d + H(A_1|E_2X)_{\sigma_0}$
从而得到以下约束：
$I(AX; B_1Y B_2)
{\sigma} \leq (1 - \varepsilon) [\log d + H(A_1|E_2X)
{\sigma_0}] + I(AX; B_2)_{\sigma}$
类似地处理 Holevo 信息项：
$I(X; B_1Y B_2)
{\sigma} = I(X; B_1B_2|Y)
{\sigma} = (1 - \varepsilon) I(X; A_1B_2)
{\sigma_0} + \varepsilon I(X; B_2)
{\sigma_1} = (1 - \varepsilon) [I(X; B_2)
{\sigma_0} + I(X; A_1|B_2)
{\sigma_0}] + \varepsilon I(X; B_2)
{\sigma_1} = (1 - \varepsilon) [I(X; B_2)
{\sigma} + I(X; A_1|B_2)
{\sigma_0}] + \varepsilon I(X; B_2)
{\sigma} = (1 - \varepsilon) I(X; A_1|B_2)
{\sigma_0} + I(X; B_2)
{\sigma}$
最后处理相干信息项：
$I(A\rangle B_1Y B_2X)
{\sigma} = I(A\rangle B_1B_2|XY)
{\sigma} = H(B_1B_2|Y X)
{\sigma} - H(E_1E_2|Y X)
{\sigma} = [(1 - \varepsilon) H(A_1B_2|X)
{\sigma_0} + \varepsilon H(B_2|X)
{\sigma_1}] - [(1 - \varepsilon) H(E_2|X)
{\sigma_0} + \varepsilon H(A_1E_2|X)
{\sigma_1}] = [(1 - \varepsilon) (H(B_2|X)
{\sigma_0} + H(A_1|B_2X)
{\sigma_0}) + \varepsilon H(B_2|X)
{\sigma_1}] - [(1 - \varepsilon) H(E_2|X)
{\sigma_0} + \varepsilon (H(E_2|X)
{\sigma_1} + H(A_1|E_2X)
{\sigma_1})] = [(1 - \varepsilon) (H(B_2|X)
{\sigma} + H(A_1|B_2X)
{\sigma_0}) + \varepsilon H(B_2|X)
{\sigma}] - [(1 - \varepsilon) H(E_2|X)
{\sigma} + \varepsilon (H(E_2|X)
{\sigma} + H(A_1|E_2X)
{\sigma_1})] = H(B_2|X)
{\sigma} - H(E_2|X)
{\sigma} + (1 - \varepsilon) H(A_1|B_2X)
{\sigma_0} - \varepsilon H(A_1|E_2X)
{\sigma_1} = H(B_2|X)
{\sigma} - H(E_2|X)
{\sigma} + (1 - \varepsilon) H(A_1|B_2X)
{\sigma_0} - \varepsilon H(A_1|E_2X)
{\sigma_0}$
应用信道 $M$ 是可降解的假设（即 $H(A_1|B_2X)
{\sigma_0} \leq H(A_1|E_2X)
{\sigma_0}$），得到上界：
$I(A\rangle B_1Y B_2X)
{\sigma} \leq H(B_2|X)
{\sigma} - H(E_2|X)
{\sigma} + (1 - \varepsilon) H(A_1|E_2X)
{\sigma_0} - \varepsilon H(A_1|E_2X)
{\sigma_0} = H(B_2|X)
{\sigma} - H(E_2|X)
{\sigma} + (1 - 2\varepsilon) H(A_1|E_2X)
{\sigma_0}$
由 (25.182) 和 (25.191) 还可以得到：
$I(X; B_1Y B_2)
{\sigma} + I(A\rangle B_1Y B_2X)
{\sigma} = (1 - \varepsilon) I(X; A_1|B_2)
{\sigma_0} + I(X; B_2)
{\sigma} + H(B_2|X)
{\sigma} - H(E_2|X)
{\sigma} + (1 - \varepsilon) H(A_1|B_2X)
{\sigma_0} - \varepsilon H(A_1|E_2X)
{\sigma_0} = I(X; B_2)
{\sigma} + H(B_2|X)
{\sigma} - H(E_2|X)
{\sigma} + (1 - \varepsilon) H(A_1|B_2)
{\sigma_0} - (1 - \varepsilon) H(A_1|B_2X)
{\sigma_0} + (1 - \varepsilon) H(A_1|B_2X)
{\sigma_0} - \varepsilon H(A_1|E_2X)
{\sigma_0} = I(X; B_2)
{\sigma} + H(B_2|X)
{\sigma} - H(E_2|X)
{\sigma} + (1 - \varepsilon) H(A_1|B_2)
{\sigma_0} - \varepsilon H(A_1|E_2X)
{\sigma_0} \leq I(X; B_2)
{\sigma} + H(B_2|X)
{\sigma} - H(E_2|X)
{\sigma} + (1 - \varepsilon) \log d - \varepsilon H(A_1|E_2X)
{\sigma_0}$
将 (25.177)、(25.193) 和 (25.197) 结合起来，得到量子动态容量公式 (25.164) 的上界：
$\lambda_1I(AX; B_1Y B_2)
{\sigma} + \lambda_2I(A\rangle B_1Y B_2X)
{\sigma} + \lambda_3 [I(X; B_1Y B_2)
{\sigma} + I(A\rangle B_1Y B_2X)
{\sigma}] \leq \lambda_1 (1 - \varepsilon) [\log d + H(A_1|E_2X)
{\sigma_0}] + \lambda_2 (1 - 2\varepsilon) H(A_1|E_2X)
{\sigma_0} + \lambda_3 [(1 - \varepsilon) \log d - \varepsilon H(A_1|E_2X)
{\sigma_0}] + \lambda_1I(AX; B_2)
{\sigma} + \lambda_2 [H(B_2|X)
{\sigma} - H(E_2|X)
{\sigma}] + \lambda_3 [I(X; B_2)
{\sigma} + H(B_2|X)
{\sigma} - H(E_2|X)
{\sigma}] = (\lambda_1 + \lambda_3) (1 - \varepsilon) \log d + [\lambda_1 (1 - \varepsilon) + \lambda_2 (1 - 2\varepsilon) - \lambda_3\varepsilon] H(A_1|E_2X)
{\sigma_0} + \lambda_1I(AX; B_2)
{\sigma} + \lambda_2 [H(B_2|X)
{\sigma} - H(E_2|X)
{\sigma}] + \lambda_3 [I(X; B_2)
{\sigma} + H(B_2|X)
{\sigma} - H(E_2|X)
{\sigma}]$
当 $\lambda_1 (1 - \varepsilon) + \lambda_2 (1 - 2\varepsilon) - \lambda_3\varepsilon \geq 0$ 时，应用数据处理（$H(A_1|E_2X)
{\sigma_0} \leq H(A_1|X)
{\sigma_0}$），得到最后一行永远不会大于：
$(\lambda_1 + \lambda_3) (1 - \varepsilon) \log d + [\lambda_1 (1 - \varepsilon) + \lambda_2 (1 - 2\varepsilon) - \lambda_3\varepsilon] H(A_1|X)
{\sigma_0} + \lambda_1I(AX; B_2)
{\sigma} + \lambda_2 [H(B_2|X)
{\sigma} - H(E_2|X)
{\sigma}] + \lambda_3 [I(X; B_2)
{\sigma} + H(B_2|X)
{\sigma} - H(E_2|X)_{\sigma}]$
如果取 $M_{A_2 \to B_2} = (N^{\varepsilon})^{\otimes n - 1}$ 并迭代这个过程 $n - 1$ 次，得到：
$\frac{1}{n}D_{\vec{\lambda}}((N^{\varepsilon})^{\otimes n}) \leq (\lambda_1 + \lambda_3) (1 - \varepsilon) \log d + [\lambda_1 (1 - \varepsilon) + \lambda_2 (1 - 2\varepsilon) - \lambda_3\varepsilon] \left[\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n} H(A_i|X)\right] \leq (\lambda_1 + \lambda_3) (1 - \varepsilon) \log d + [\lambda_1 (1 - \varepsilon) + \lambda_2 (1 - 2\varepsilon) - \lambda_3\varepsilon] \max_{i,x} H(A_i)_{\varphi_x}$
这证明了当 $\lambda_1 (1 - \varepsilon) + \lambda_2 (1 - 2\varepsilon) - \lambda_3\varepsilon \geq 0$ 时区域的最优性。对于 $\lambda_1 (1 - \varepsilon) + \lambda_2 (1 - 2\varepsilon) - \lambda_3\varepsilon < 0$ 的情况，从 (25.200) 开始，使用信道 $\text{Tr}
{B_2}{U_M^{A_2 \to B_2E_2}(\cdot)}$ 的数据处理，得到 $H(A_1|E_2X)
{\sigma_0} \geq H(A_1|A_2X)
{\sigma_0}$，从而得到：
$(\lambda_1 + \lambda_3) (1 - \varepsilon) \log d + [\lambda_1 (1 - \varepsilon) + \lambda_2 (1 - 2\varepsilon) - \lambda_3\varepsilon] H(A_1|E_2X)
{\sigma_0} + \lambda_1I(AX; B_2)
{\sigma} + \lambda_2 [H(B_2|X)
{\sigma} - H(E_2|X)
{\sigma}] + \lambda_3 [I(X; B_2)
{\sigma} + H(B_2|X)
{\sigma} - H(E_2|X)
{\sigma}] \leq (\lambda_1 + \lambda_3) (1 - \varepsilon) \log d + [\lambda_1 (1 - \varepsilon) + \lambda_2 (1 - 2\varepsilon) - \lambda_3\varepsilon] H(A_1|A_2X)
{\sigma_0} + \lambda_1I(AX; B_2)
{\sigma} + \lambda_2 [H(B_2|X)
{\sigma} - H(E_2|X)
{\sigma}] + \lambda_3 [I(X; B_2)
{\sigma} + H(B_2|X)
{\sigma} - H(E_2|X)_{\sigma}]$
如果取 $M_{A_2 \to B_2} = (N^{\varepsilon})^{\otimes n - 1}$ 并迭代这个过程 $n - 1$ 次，得到：
$\frac{1}{n}D_{\vec{\lambda}}((N^{\varepsilon})^{\otimes n}) \leq (\lambda_1 + \lambda_3) (1 - \varepsilon) \log d + [\lambda_1 (1 - \varepsilon) + \lambda_2 (1 - 2\varepsilon) - \lambda_3\varepsilon] \left[\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n} H(A_i|A_{i - 1}X)\right] = (\lambda_1 + \lambda_3) (1 - \varepsilon) \log d + [\lambda_1 (1 - \varepsilon) + \lambda_2 (1 - 2\varepsilon) - \lambda_3\varepsilon] \left[\frac{1}{n}H(A_n|X)\right] \leq (\lambda_1 + \lambda_3) (1 - \varepsilon) \log d$
最后一行因为熵是非负的。这个不等式表明 $\lambda_1 (1 - \varepsilon) + \lambda_2 (1 - 2\varepsilon) - \lambda_3\varepsilon < 0$ 意味着在定理陈述中选择 $\lambda = 0$ 是最优的（这对应于最大化无辅助经典容量的情况）。
4.4 流程图
graph TD;
A[选择输入系综] --> B[计算 ρ_XAB];
B --> C[应用等距变换得到 ω_XABY];
C --> D[计算信息度量 I(AX; B)_ρ 等];
D --> E[证明可实现性];
F[考虑 N_ε ⊗ M 的量子动态容量公式] --> G[处理量子互信息项];
G --> H[处理 Holevo 信息项];
H --> I[处理相干信息项];
I --> J[结合各项得到上界];
J --> K[分情况讨论证明最优性];
5. 纯损耗玻色子信道
5.1 信道特性
纯损耗玻色子信道是量子通信中非常重要的实际信道，可用于模拟光子在自由空间或光纤电缆中的通信，其主要噪声源是光子的损耗。该信道有一个参数 $\eta \in [0, 1]$，表示平均到达接收器的光子比例，而 $1 - \eta$ 则是被环境 Eve 收集的未到达接收器的光子比例。通常，还会限制发送者允许通过信道发送的平均光子数，设为 $N_S \in [0, \infty)$，信道的容量是 $\eta$ 和 $N_S$ 这两个参数的函数。
5.2 编码策略
对于该信道，权衡编码可显著优于时分复用。权衡编码相当于一种功率共享策略，发送者将可用光子的一部分 $\lambda \in [0, 1]$ 分配给量子编码部分，另一部分 $1 - \lambda$ 分配给经典编码部分。这种功率共享策略在很大程度上被证明是最优的（取决于一个长期存在的猜想），并且比时分复用有显著的优势。
具体而言，权衡编码策略中，发送者和接收者从以下形式的系综中生成随机码：
${p_X(x), |\varphi_x\rangle_{AA’}}$
对于纯损耗玻色子信道，最佳系综的形式为：
${p_{(1 - \lambda)N_S}(\alpha), D_{A’}(\alpha)|\psi_{TMS}(\lambda)\rangle_{AA’}}$
其中，$\alpha$ 是复变量，$p_{(1 - \lambda)N_S}(\alpha)$ 是方差为 $(1 - \lambda)N_S$ 的各向同性高斯分布：
$p_{(1 - \lambda)N_S}(\alpha) \equiv \frac{1}{\pi (1 - \lambda)N_S} \exp\left(-\frac{|\alpha|^2}{(1 - \lambda)N_S}\right)$
$D_{A’}(\alpha)$ 是作用在系统 $A’$ 上的“位移”幺正算子，$|\psi_{TMS}(\lambda)\rangle_{AA’}$ 是“双模压缩”（TMS）态：
$|\psi_{TMS}(\lambda)\rangle_{AA’} \equiv \sum_{n = 0}^{\infty} \sqrt{\frac{[\lambda N_S]^n}{[\lambda N_S + 1]^{n + 1}}}|n\rangle_A|n\rangle_{A’}$
将系统 $A$ 求迹后得到的状态 $\theta(\lambda)$ 是平均光子数为 $\lambda N_S$ 的热态：
$\theta(\lambda) \equiv \text{Tr}
A{|\psi
{TMS}(\lambda)\rangle\langle\psi_{TMS}(\lambda)|
{AA’}} = \sum
{n = 0}^{\infty} \frac{[\lambda N_S]^n}{[\lambda N_S + 1]^{n + 1}}|n\rangle\langle n|_{A’}$
通过对几何分布 $\frac{[\lambda N_S]^n}{[\lambda N_S + 1]^{n + 1}}$ 计算光子数 $n$ 的期望值，可以验证其平均光子数为 $\lambda N_S$：
$\sum_{n = 0}^{\infty} n\frac{[\lambda N_S]^n}{[\lambda N_S + 1]^{n + 1}} = \lambda N_S$
位移算子 $D_{A’}(\alpha)$ 的一个重要性质是，根据高斯分布 $p_{(1 - \lambda)N_S}(\alpha)$ 对它们的随机选择进行平均，每个算子作用在状态 $\theta$ 上，得到平均光子数为 $N_S$ 的热态：
$\theta \equiv \int d\alpha p_{(1 - \lambda)N_S}(\alpha) D(\alpha)\theta(\lambda)D^{\dagger}(\alpha) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{[N_S]^n}{[N_S + 1]^{n + 1}}|n\rangle\langle n|_{A’}$
因此，系综的选择满足输入信道的平均光子数等于 $N_S$ 的约束。
5.3 动态容量区域计算
为了计算纯损耗玻色子信道的量子动态容量区域，需要用到热态的熵公式。平均光子数为 $N_S$ 的热态的熵为：
$g(N_S) \equiv (N_S + 1) \log (N_S + 1) - N_S \log(N_S)$
根据练习 25.2.1，需要计算以下四个熵：
$H(A|X)
{\sigma} = \int d\alpha p
{(1 - \lambda)N_S}(\alpha) H(D(\alpha)\theta(\lambda)D^{\dagger}(\alpha))$
$H(B)
{\sigma} = H(N(\theta))$
$H(B|X)
{\sigma} = \int d\alpha p_{(1 - \lambda)N_S}(\alpha) H(N(D(\alpha)\theta(\lambda)D^{\dagger}(\alpha)))$
$H(E|X)
{\sigma} = \int d\alpha p
{(1 - \lambda)N_S}(\alpha) H(N^c(D(\alpha)\theta(\lambda)D^{\dagger}(\alpha)))$
其中，$N$ 是将输入光子的 $\eta$ 部分传输到接收器的纯损耗玻色子信道，$N^c$ 是将输入光子的 $1 - \eta$ 部分传输到环境 Eve 的互补信道。
具体计算如下：
- $H(A|X)
{\sigma} = \int d\alpha p
{(1 - \lambda)N_S}(\alpha) H(D(\alpha)\theta(\lambda)D^{\dagger}(\alpha)) = \int d\alpha p_{(1 - \lambda)N_S}(\alpha) H(\theta(\lambda)) = H(\theta(\lambda)) = g(\lambda N_S)$
- $H(B)
{\sigma} = H(N(\theta)) = g(\eta N_S)$
- $H(B|X)
{\sigma} = \int d\alpha p_{(1 - \lambda)N_S}(\alpha) H(N(D(\alpha)\theta(\lambda)D^{\dagger}(\alpha))) = \int d\alpha p_{(1 - \lambda)N_S}(\alpha) H(D(\sqrt{\eta}\alpha)N(\theta(\lambda))D^{\dagger}(\sqrt{\eta}\alpha)) = \int d\alpha p_{(1 - \lambda)N_S}(\alpha) H(N(\theta(\lambda))) = H(N(\theta(\lambda))) = g(\lambda\eta N_S)$
- $H(E|X)
{\sigma} = \int d\alpha p
{(1 - \lambda)N_S}(\alpha) H(N^c(D(\alpha)\theta(\lambda)D^{\dagger}(\alpha))) = \int d\alpha p_{(1 - \lambda)N_S}(\alpha) H(D(\sqrt{1 - \eta}\alpha)N^c(\theta(\lambda))D^{\dagger}(\sqrt{1 - \eta}\alpha)) = \int d\alpha p_{(1 - \lambda)N_S}(\alpha) H(N^c(\theta(\lambda))) = H(N^c(\theta(\lambda))) = g(\lambda(1 - \eta)N_S)$
根据练习 25.2.1 的结果以及当 $\eta \geq 1/2$ 时成立的匹配逆命题，纯损耗玻色子信道的量子动态容量区域如下：
5.4 动态容量区域定理
假设 (Guha 2008) 的强猜想 2 成立，对于透射率 $\eta \geq 1/2$ 的纯损耗玻色子信道，其量子动态容量区域是以下形式区域的并集：
$C + 2Q \leq g(\lambda N_S) + g(\eta N_S) - g((1 - \eta)\lambda N_S)$
$Q + E \leq g(\eta\lambda N_S) - g((1 - \eta)\lambda N_S)$
$C + Q + E \leq g(\eta N_S) - g((1 - \eta)\lambda N_S)$
其中，$\lambda \in [0, 1]$ 是光子数共享参数，$g(N)$ 是上述定义的熵函数。该区域对于所有 $\eta \in [0, 1]$ 都是可实现的。
5.5 表格
| 参数 | 含义 |
|---|---|
| $\eta$ | 透射率，表示平均到达接收器的光子比例，$\eta \in [0, 1]$ |
| $N_S$ | 发送者允许通过信道发送的平均光子数，$N_S \in [0, \infty)$ |
| $\lambda$ | 光子数共享参数，$\lambda \in [0, 1]$ |
| $g(N)$ | 平均光子数为 $N$ 的热态的熵，$g(N) \equiv (N + 1) \log (N + 1) - N \log(N)$ |
| $C$ | 经典通信速率 |
| $Q$ | 量子通信速率 |
| $E$ | 纠缠消耗速率 |
5.6 示例分析
图 25.6 展示了上述定理中区域的两个重要特殊情况：
-
无纠缠辅助的经典和量子通信权衡
：假设信道平均将 $\frac{3}{4}$ 的光子传输到接收器，丢失 $\frac{1}{4}$。该信道每信道使用最多可可靠传输约 $\log (\frac{3}{4}) - \log (\frac{1}{4}) \approx 1.58$ 个量子比特，发送端每信道使用约 200 个光子的平均光子预算足以接近实现该量子容量。权衡编码策略在保持相同平均光子预算的情况下，将量子数据速率降低到约 1.4 个量子比特/信道使用，可使发送者每信道使用可靠传输额外的 4.5 个经典比特，而时分复用在相同光子预算下仅允许额外传输 1 个经典比特/信道使用。权衡编码在经典数据速率上比时分复用提高了 6.5 dB，这促使量子通信工程师采用权衡编码策略以利用理论性能提升。
-
纠缠辅助和无辅助经典通信的权衡
：发送者和接收者共享纠缠，发送者希望在最小化纠缠消耗的同时传输经典信息。在每信道使用平均光子预算为 200 个光子、信道仅传播输入光子的 $\frac{3}{4}$ 的情况下，发送者每信道使用最多可可靠传输约 10.7 个经典比特，同时以约 9.1 个纠缠比特/信道使用的速率消耗纠缠。通过权衡编码，发送者可将纠缠消耗速率显著降低到约 5 个纠缠比特/信道使用，同时仍能传输约 10.5 个经典比特/信道使用，经典通信速率仅降低 0.08 dB，而纠缠消耗速率降低了 2.6 dB。这种纠缠消耗的节省对于需要额外纠缠用于未来辅助通信轮次的情况非常有用。
6. 总结
本文详细分析了几种量子信道的动态容量区域，涵盖了 Hadamard 信道、去相位信道、量子擦除信道和纯损耗玻色子信道。不同信道具有不同的特性和容量区域表达式，通过对这些信道的研究，可以更好地理解量子通信中的资源分配和编码策略。
- Hadamard 信道的动态容量区域可单字母化，其可加性的证明为后续研究提供了重要基础。
- 去相位信道的动态容量区域有特定的表达式，通过考虑特定形式的系综可以简化计算。
- 量子擦除信道的时间共享是最优策略，其动态容量区域的证明涉及可实现性和最优性的分析。
- 纯损耗玻色子信道的权衡编码策略比时分复用有显著优势，通过合理分配光子资源可以提高通信效率。
这些研究成果对于量子通信系统的设计和优化具有重要的指导意义，未来可以进一步探索更多类型信道的特性和优化策略，以推动量子通信技术的发展。
6.1 流程图
graph TD;
A[确定信道类型] --> B{是否为 Hadamard 信道};
B -- 是 --> C[证明可加性和单字母化];
B -- 否 --> D{是否为去相位信道};
D -- 是 --> E[考虑特定系综计算容量区域];
D -- 否 --> F{是否为量子擦除信道};
F -- 是 --> G[证明可实现性和最优性];
F -- 否 --> H[考虑纯损耗玻色子信道];
H --> I[采用权衡编码策略];
I --> J[计算动态容量区域];
C --> K[总结信道特性];
E --> K;
G --> K;
J --> K;
K --> L[指导量子通信系统设计];
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