27、量子熵的连续性与恢复定理解读

量子熵的连续性与恢复定理解读

1. 量子熵连续性相关概念与定理

当两个密度算子 $\rho$ 和 $\sigma$ 在迹距离上接近时，我们可以预期它们具有一些特定的性质。例如，它们之间的保真度应该接近 1，并且它们的熵也应该相近。下面我们将详细介绍几个重要的定理。

1.1 Fannes–Audenaert 不等式

该不等式表明，当两个密度算子 $\rho, \sigma \in D(H)$ 且 $\frac{1}{2} |\rho - \sigma|_1 \leq \varepsilon \in [0, 1]$ 时，有：
[
|H(\rho) - H(\sigma)| \leq
\begin{cases}
\varepsilon \log [\dim(H) - 1] + h_2(\varepsilon) & \text{if } \varepsilon \in [0, 1 - 1/\dim(H)] \
\log \dim(H) & \text{else}
\end{cases}
]
综合起来，有一个通用的界：
[
|H(\rho) - H(\sigma)| \leq \varepsilon \log \dim(H) + h_2(\varepsilon)
]

证明思路 ：
- 首先证明当 $\varepsilon \in [0, 1 - 1/\dim(H)]$ 时，$H(\rho) - H(\sigma) \leq \varepsilon \log [\dim(H) - 1] + h_2