质因数相关问题 | 改欧拉函数

1.定义

质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。除了1以外，两个没有其他共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以用指数表示。根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式 [1] 。只有一个质因子的正整数为质数。
每个合数都可以写成几个质数（也可称为素数）相乘的形式 [2] ，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数；而这个因数一定是一个质数。

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2.欧拉函数

欧拉函数，解决的是小于等于n的正整数中与n互质的的数的数目。
点击此处，获得解释

下面是欧拉函数的实现

#include <iostream>
using namespace std;
int euler(int n) {
    int res = n;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            res = res - res / i;    //要填的部分
            while (n % i == 0) {
                n /= i;
            }
        }
    }
    return res;
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << euler(n) << endl;
    return 0;
}

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3.质因数相关问题

1.比如让你求一个数的分解质因数相关例题
2.让你输出一个数的最大质因数。
等等问题
我们都可以改欧拉函数进行解决。而且效率非常高。(甚至远远小于o(n)的复杂度)

下面是输出一个数的最大质因数的代码

#include<iostream>
using namespace std;
int euler(int n) {
    int maxx = 0;
    int tem = n;
    for (int i = 2; i <=n && tem != 1; i ++) {
        if (tem % i == 0){
            maxx = max(maxx, i);
            while(tem % i == 0) {
                tem /= i;
            }
        }
    }
    return maxx;
}
int main() {
    int n = 460897024;
    cout << euler(n);
}