求一个数的质因子以及欧拉函数

求一个数的质因子

代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
    long long a[100],num,i,n;
    while(~scanf("%I64d",&n))
    {
        num=0;
        for(i=2; i*i<=n; i++)
        {
            if(n%i==0)
                a[num++]=i;
            while(n%i==0)
                n/=i;
        }
        if(n>1)
            a[num++]=n;
        for(i=0; i<num; i++)
            printf("%I64d ",a[i]);
        printf("\n");
    }

    return 0;
}

#include<stdio.h>
#include<string.h>
long long a[1000000];
int main()
{
    long long i,j,n;
    scanf("%I64d",&n);
    memset(a,0,sizeof(a));
    for(i=2; i<100000; i++)
        if(!a[i])
            for(j=2*i; j<=n; j+=i)
                a[j]=1;

    for(i=2; i<=n; i++)
    {
        if(!a[i]&&n%i==0)
            printf("%I64d ",i);

    }
    return 0;
}

第二个是我直接筛法写的，但是这样子的时间复杂度好像有点高，

定理：

算术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数均可写为质数的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。例如:
 
算术基本定理的内容由两部分构成：
分解的存在性；
分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的。
看过百度后感觉是好了一点，下面该欧拉函数了。

欧拉函数，就是求出不大于n且与n互素的数的个数

代码：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
    int n,i,m;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        if(n==1)
            printf("0\n");
        else
        {
            m=sqrt(n+0.5);
            int ans=n;
            for(i=2; i<=m; i++)
                if(n%i==0)
                {
                    ans=ans/i*(i-1);
                    while(n%i==0)
                        n/=i;

                }
            if(n>1)
                ans=ans/n*(n-1);
            printf("%d\n",ans);

        }

    }
    return 0;
}

这个其实就是求一个数的质因数的变形（只不过是加了一点内容）就是欧拉函数的一个公式。

公式：

利用欧拉函数和它本身不同质因数的关系，用 筛法计算出某个范围内所有数的欧拉函数值。

欧拉函数和它本身不同质因数的关系：

欧拉函数ψ（N）=N{∏p|N}（1－1/p）

 

亦即:

   

（P是数N的 质因数）

直接代入公式就好了，对了，这一点，它还使用了一个开方向下取整的小细节，请教大神，说在1e9内都是没有问题的，这个我也没有求证，以后求证过了再补，（ m=sqrt(n+0.5)）还有容斥原理，有时间再写吧。