欧拉函数

最新推荐文章于 2020-07-02 09:55:37 发布
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分类专栏： ACM程序设计基础
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欧拉函数用于计算小于给定正整数n且与n互质的正整数数量。当n为素数时，答案为n-1；否则，可用通式φ(x) = x * (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2) * ... * (1 - 1/pn)计算，其中p1, p2,...,pn是x的所有质因数。" 103352388,8566618,初入产品行业：如何通过坚持积累提升产品思维,"['产品设计', '用户体验', '日程管理', '产品分析', '个人成长']

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 Relatives

 use MathJax to parse formulas

Description

Given n, a positive integer, how many positive integers less than n are relatively prime to n? Two integers a and b are relatively prime if there are no integers x > 1, y > 0, z > 0 such that a = xy and b = xz.

Input

There are several test cases. For each test case, standard input contains a line with n <= 1,000,000,000. A line containing 0 follows the last case.

Output

For each test case there should be single line of output answering the question posed above.

Sample Input

7
12
0

Sample Output

6
4

 首先讲一下欧拉函数    例如

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2018.09.01【POJ3090】Visible Lattice Points (欧拉函数) （线性筛）（前缀和）
zxyoi_dreamer的博客（不定期诈尸）
09-01 240
[传送门](Visible Lattice Points) 解析： 简单的欧拉函数套上一个线性筛。。。 考虑这个方阵的下三角（反正上面也是对称过去的，乘以2就行了）， 第iii列除去xxx轴上的和对角线上的点，就还剩iii个点，而如果有gcd(i,j)!=1gcd(i,j)!=1gcd(i,j)!=1，则该点在(i/gcd(i,j),j/gcd(i,j))(i/gcd(i,j),j/g...
poj3090（欧拉函数）
qq_39861441的博客
09-15 733
http://poj.org/problem?id=3090 首先，题目主要是求从0,0能看到的点的个数。 先考虑只有1×1的时候，三个点，根据图明显看出，只需要计算下三角，结果=下三角的个数×2再加1（斜率为1的点）。 那么我们只需要计算斜率从0到1之间的个数就行了，不包括1，包括0.结果设为sum，那么最终就是2*sum+1.   1×1只有一个斜率为0的 2×2斜率有0,1/2（...
PHP简单实现欧拉函数Euler功能示例
10-19
欧拉函数的定义是：对于任意正整数n，欧拉函数φ(n)表示的是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。所谓“互质”，指的是两个数的最大公约数为1。例如，φ(10)=4，因为1、3、7、9这四个数都和10互质。 在PHP中...
线性素筛 欧拉函数 区间筛素数.zip_sowoc_算法 欧拉函数 线性筛
09-24
总的来说，"线性素筛 欧拉函数 区间筛素数.zip_sowoc_算法 欧拉函数 线性筛"这个压缩包文件包含了一种高效的算法实现，该算法能够在线性时间内筛选素数，并且能快速计算欧拉函数值，适用于需要处理大量素数和欧拉...
欧拉函数的几个性质及证明.pdf
06-15
欧拉函数（Euler's totient function），通常表示为φ(n)，是数论中一个非常重要的函数。它定义为在1到n之间（包含1和n）与n互质的正整数个数。例如，φ(1)=1，因为只有1与1互质；φ(2)=1，因为只有1与2互质；φ(3)=...
代码实现,欧拉函数代码实现,matlab
09-10
标题提到的"代码实现,欧拉函数代码实现,matlab"，表明我们将讨论如何在MATLAB环境中实现欧拉函数。欧拉函数，通常用φ(n)表示，是计算小于或等于n且与n互质的正整数的数量，它在数论中具有重要的地位。MATLAB是一种...
应用容斥原理推广欧拉函数 (2015年)
05-26
利用容斥原理对欧拉函数进行了推广，得出如下结论：1 ）给出了欧拉函数的3 种初步推广，即函数φr；k （m），Ωr；k；l （m），Hr；k；l （m），找到并证明了r＝ 0 的 3 个表达式；2 ）进一步推广了欧拉函数，得到并...
欧拉函数最全总结
热门推荐
jiet07的博客
07-02 5万+
文章目录欧拉函数的内容一、欧拉函数的引入二、欧拉函数的定义三、欧拉函数的性质四、欧拉函数的计算方法（一）素数分解法（二）编程思维1.求n以内的所有素数2.求φ(n)3.格式化输出0-100欧拉函数表（“x?”代表十位数，“x”代表个位数）五、欧拉函数相关定理以及证明（一）定理1：缩系与欧拉函数的关系（二）定理2：缩系的充要条件（三）定理3：缩系拓展1. 简单证明：(a,m)=1，(x,m)=1，故(ax,m)=1。（四）定理4：设m＞1，(a,m)=1,则aφ(m)≡1(mod m).1. **若ac≡bc
欧拉函数的定义与计算
pxlsdz的博客
08-01 1万+
                                        欧拉函数  【定义】 数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明...
计算欧拉函数
hit_fantasy的专栏
03-28 4568
#include #include #include #include #include using namespace std; unsigned long int a[10000]={2}, num=1; unsigned long int j=0; inline int prime(unsigned long int x) { unsigned long int
欧拉函数详解
大太阳
04-15 2万+
欧拉函数详解 对一个正整数N，欧拉函数是小于N且与N互质的数的个数.。 例如φ(24)=8，因为1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23均和 24 互质。 φ(n) = n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*......(1-1/pn)   其中(p1.....pn)为N的素因子 欧拉函数的基本性质： ① N是不为0的整数。euler(1)=1（唯一和
【数论】欧拉函数与欧拉定理
PHenning的博客
04-12 1243
欧拉函数 对于一个正整数xxx，小于xxx且和xxx互质的正整数的个数，记做φ(x)\varphi(x)φ(x)。 其中φ(1)\varphi(1)φ(1)被定义为111，但是并没有任何实质的意义。 φ(x)=x∏p∣xp−1p\varphi(x)=x\prod_{p|x}\frac{p-1}pφ(x)=xp∣x∏​pp−1​ 求欧拉函数 时间复杂度：O(n)O(\sqrt n)O(n​) int...
欧拉函数知识点总结及代码模板及欧拉函数表
weixin_30825199的博客
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欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。 欧拉函数的性质：它在整数n上的值等于对n进行素因子分解后，所有的素数幂上的欧拉函数之积。 欧拉函数的值 　通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等 于1...
计算x的n次方（用函数）
ZCY的博客
08-28 1万+
use MathJax to parse formulas Description 问题很简单，求x^n.请编写pow()函数. 声明如下： int pow(int x,int n,int p) //pow的功能是实现x^n，最后１个参数p没有用。 系统会自动在程序的最后加上如下代码： int main() { int x,n; scanf("%d %d",&...
欧拉函数算法
最新发布
03-29
<think>好的，我需要帮助用户了解欧拉函数的算法实现。首先，我要回顾一下欧拉函数的定义。根据引用[2]和[3]，欧拉函数φ(n)是小于n的正整数中与n互质的数的数目。例如φ(8)=4，因为1,3,5,7和8互质。 接下来，用户想知道如何实现欧拉函数的算法。根据引用[3]，欧拉函数的通式是φ(n) = n × Π(1 - 1/p)，其中p是n的所有不同的质因数。所以，实现这个函数的关键步骤应该是分解质因数，然后应用这个公式。 首先，分解质因数。我需要找出n的所有不同质因数。例如，对于n=12，质因数是2和3，所以φ(12)=12×(1-1/2)×(1-1/3)=4。这一步可以通过试除法来实现，从2开始逐个试除，直到平方根为止。 然后，应用公式。每找到一个质因数p，就乘上(1-1/p)，最后乘以n。需要注意的是，如果n最后剩下一个大于1的质数，也需要处理。 现在考虑代码实现。用户提供的引用[1]提到使用BigIntegers处理非常大的数字，但用户现在可能需要一个基础的实现方法。假设用户使用Python，可以写一个函数，首先分解质因数，然后计算结果。 需要注意的几个点：1. 处理n=1的情况，φ(1)=1。2. 在分解质因数时，避免重复因数，所以每次找到一个质因数后，要彻底除去所有该因数。例如，分解12时，先除以2得到3，再除以3，得到1，这样就不会重复计算因数2。 测试一下例子是否正确。例如，φ(8)=4，φ(12)=4，φ(7)=6（质数的情况）。代码是否能正确处理这些情况？ 另外，引用[1]提到了对大数的处理，可能需要更高效的质因数分解方法，比如Pollard's Rho算法，但对于一般情况，试除法可能足够，尤其是当n不是特别大的时候。不过，试除法对于大数来说效率不高，这时候需要考虑优化算法，但用户可能先需要一个基础实现。 可能的错误点：在分解质因数时，忘记处理剩余的n可能也是质数的情况。比如，n=13，分解到最后的n=13，应该被算作一个质因数。 现在，把这些步骤整理成代码。编写一个函数euler_phi(n)，返回φ(n)的值。首先处理n=0或1的特殊情况。然后对n进行质因数分解，记录所有不同的质因数，然后应用公式。 最后，生成相关问题。根据欧拉函数的应用，比如欧拉定理，或者优化算法的方法，或者比较不同分解质因数的方法的效率等。 总结，我需要给出欧拉函数的定义、算法步骤、代码实现以及相关问题。</think>### 欧拉函数算法实现 #### 1. 定义与公式 欧拉函数 $φ(n)$ 定义为**小于 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数的个数**。其通式为： $$ φ(n) = n \cdot \prod_{p \mid n} \left(1 - \frac{1}{p}\right) $$ 其中 $p$ 是 $n$ 的质因数[^3]。 #### 2. 算法步骤 1. **质因数分解**：将 $n$ 分解为不同质因数的乘积。 2. **应用公式**：遍历每个质因数 $p$，计算 $\prod \left(1 - \frac{1}{p}\right)$，最后乘以 $n$。 #### 3. 代码实现（Python） ```python def euler_phi(n): if n <= 0: return 0 result = n # 质因数分解 p = 2 while p * p <= n: if n % p == 0: while n % p == 0: n //= p result -= result // p # 等价于 result *= (1 - 1/p) p += 1 # 处理剩余的质因数（如n是质数的情况） if n > 1: result -= result // n return result ``` #### 示例验证 - **输入：8** 质因数为 2，计算过程：$8 \cdot (1 - 1/2) = 4$，输出为 4。 - **输入：7** 7 是质数，计算过程：$7 \cdot (1 - 1/7) = 6$，输出为 6[^2]。 #### 4. 优化方向 - **大数处理**：使用 Pollard's Rho 算法加速质因数分解[^1]。 - **预计算质数表**：用筛法预存质数，减少试除次数。
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