AcWing 108.奇数码问题

你一定玩过八数码游戏，它实际上是在一个 3×3的网格中进行的，1 个空格和 1∼8 这 8个数字恰好不重不漏地分布在这 3×3 的网格中。

例如：

5 2 8
1 3 _
4 6 7

在游戏过程中，可以把空格与其上、下、左、右四个方向之一的数字交换（如果存在）。

例如在上例中，空格可与左、上、下面的数字交换，分别变成：

5 2 8       5 2 _      5 2 8
1 _ 3       1 3 8      1 3 7
4 6 7       4 6 7      4 6 _

奇数码游戏是它的一个扩展，在一个 n×n 的网格中进行，其中 n 为奇数，1个空格和 1∼n2−1 这 n2−1 个数恰好不重不漏地分布在 n×nn×n 的网格中。

空格移动的规则与八数码游戏相同，实际上，八数码就是一个 n=3的奇数码游戏。

现在给定两个奇数码游戏的局面，请判断是否存在一种移动空格的方式，使得其中一个局面可以变化到另一个局面。

输入格式

多组数据，对于每组数据：

第 1 行输入一个整数 n，n为奇数。

接下来 n 行每行 n 个整数，表示第一个局面。

再接下来 n 行每行 n 个整数，表示第二个局面。

局面中每个整数都是 0∼n2−1 之一，其中用 0 代表空格，其余数值与奇数码游戏中的意义相同，保证这些整数的分布不重不漏。

输出格式

对于每组数据，若两个局面可达，输出 TAK，否则输出 NIE。

数据范围

1≤n<500

输入样例：

3
1 2 3
0 4 6
7 5 8
1 2 3
4 5 6
7 8 0
1
0
0

输出样例：

TAK
TAK

题解：

这道题要用逆序对，为什么要用逆序对？

首先，我们将二维数组，压缩到一维数组。

接下来，在二维数组的上下交换和左右交换，在一维数组的情况

左右交换 ，在一维数组中也是左右交换，由于0是空格，不是数字，所以算逆序对没有它的事情

上下交换，在一维数组就会向左或者向右与第n个交换，中间会有n-1个数，由于n是奇数，所以之间相差的是偶数（i+j为偶）。我们将0与左边的x交换，假设之间0与x之间有i个比x大的，j个比x小的，并假设逆序对为k，那么交换后，就是 k+i-j个，由于i+j是偶数，所以i-j也是偶数，那么，如果k是奇数，还是奇数，是偶数还是偶数，所以我们可以根据逆序对来确定。

逆序对的求法利用归并来求。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N=510;

typedef long long ll;

int a[N*N],b[N*N],temp[N*N];

int n,x;

ll res;

ll merge_sort(int q[],int l,int r)
{
    if(l>=r) return 0;
    int mid=(l+r)>>1;
    res=merge_sort(q,l,mid)+merge_sort(q,mid+1,r);
    
    int i=l,j=mid+1;
    int k=0;
    while(i<=mid&&j<=r)
    {
        if(q[i]<=q[j]) temp[k++]=q[i++];
        else
        {
            res+=mid-i+1;
            temp[k++]=q[j++];
        }
    }
    while(i<=mid) temp[k++]=q[i++];
    while(j<=r) temp[k++]=q[j++];
    for(int i=l,j=0;i<=r;i++,j++) q[i]=temp[j];
    
    return res;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        for(int i=0,j=0;i<n*n;i++)
        {
            cin>>x;
            if(x) a[j++]=x;
        }
        
        for(int i=0,j=0;i<n*n;i++)
        {
            cin>>x;
            if(x) b[j++]=x;
        }
        
        
        if((merge_sort(a,0,n*n-1)&1)==(merge_sort(b,0,n*n-1)&1)) puts("TAK");
        else puts("NIE");
    }
    return 0;
}