30、受冲突图约束的准时作业总权重最大化研究

受冲突图约束的准时作业总权重最大化研究

在作业调度领域，受冲突图约束的并行机器作业调度问题一直是研究的热点。本文将围绕这一问题，介绍相关的算法和实验结果。

1. 问题背景与等价性

在按订单生产系统中，该系统等价于在冲突图约束下，将作业调度到 m 台并行相同机器上的问题。具体做法是，为按订单生产系统中的每个作业关联一个可在 m 台并行机器上处理且处理时间为 1 个单位的作业，这类作业在调度文献中被称为 UET 作业。设 N 为所有 UET 作业的集合，G(N, E) 为冲突图，其边集是按订单生产系统中对应作业有重叠的 UET 作业对的集合。当所有 UET 作业具有相同的截止日期 D，且每个 UET 作业的权重与按订单生产系统中对应作业的权重相同时，这两个问题等价。值得注意的是，按订单生产系统中的冲突图具有特殊结构，这类图被称为区间图。

2. 相关工作

多数关于在冲突图约束下并行相同机器调度的文献都聚焦于最小化完工时间（makespan）。UET 作业调度问题在多个领域有应用，例如在使用区域分解法求解偏微分方程时，平衡并行处理器的负载；在考试排课问题中，若有学生需同时参加两门考试，则这两门考试不能同时安排。

最小化完工时间问题与图论中的两个核心问题密切相关：图着色问题和最大匹配问题。在图着色问题中，每个颜色类是同时处理的作业集合，且每个颜色类的基数不能超过机器数量的限制。由于将图划分为三角形的问题是强 NP 完全问题，即使每个颜色类的节点数不超过 3，图着色问题（以及等价的最小化完工时间问题）也是强 NP 难问题。而最大匹配问题的相关性在于，任何两个可同时处理的作业对应于一致图中的一条边，当 m = 2 时，最小化完工时间等价于在一致图中找