11、平面不相交路径补全问题研究

平面不相交路径补全问题研究

在图论和算法领域，图的补全问题一直是研究的热点之一。本文将聚焦于平面不相交路径补全（Planar Disjoint Paths Completion，PDPC）问题，详细介绍其定义、参数化复杂度以及解决该问题的算法和思路。

1. 问题背景与定义

在实际场景中，我们可能会遇到这样的问题：给定一个平面道路网络，包含 (n) 个城市以及 (k) 对城市对，同时指定网络中的一个空白区域。我们希望在这个空白区域添加最少数量的城际道路，使得扩展后的网络仍然保持平面性，并且这 (k) 对城市对之间存在 (k) 条内部不相交的道路。从图论的角度来看，这就是一个平面不相交路径补全问题。

• 不相交路径问题（DP）

  • 定义 ：输入为一个无向图 (G) 和 (k) 对终端 (s_1, t_1, \cdots, s_k, t_k \in V(G))，问题是在 (G) 中是否存在 (k) 条两两内部顶点不相交的路径 (Q_1, \cdots, Q_k)，使得路径 (Q_i) 连接 (s_i) 到 (t_i)。
  • 复杂度 ：DP 问题即使在平面图上也是 NP 完全的，但当以 (k) 为参数时，它属于参数化复杂度类 FPT，可以在 (f(k) \cdot n^{O(1)}) 时间内解决。对于平面图，该问题可以在 (f(k) \cdot n) 时间内解决。

• 平面不相交路径补全问题（PDPC）