15、匹配算法：从最大权重到平面无交叉匹配

匹配算法：从最大权重到平面无交叉匹配

1. 最大权重完美匹配 - Kuhn - Munkres 算法

1.1 应用场景

在教学部门中，有 n 门课程需要分配给 n 位教师。每位教师对每门课程都给出了权重形式的偏好。目标是找到课程和教师之间的一种双射，使得所有分配的偏好权重总和最大，这就是二分图中的完美最大权重匹配问题。

1.2 定义

设 G(U, V, E) 是一个二分图，边的权重函数为 w : E → R 。不妨假设 |U| = |V| 且图是完全图，即 E = U × V 。目标是找到一个完美匹配 M ⊆ E ，使得 ∑(e∈M) w(e) （也称为利润）最大。

1.3 变体

• 最小成本完美匹配 ：改变权重的符号，然后解决最大利润问题。
• |U| > |V| 的情况 ：向 V 中添加新顶点，这些顶点与 U 中的所有顶点以权重 0 相连。
• 非完全图的情况 ：用权重为 -∞ 的边将图补全，这些边在最优解中永远不会被选中。

1.4 复杂度