3、消防问题的参数化复杂性研究

消防问题的参数化复杂性研究

引言

在图论和算法领域，消防问题一直是一个备受关注的研究课题。消防问题主要涉及在图中保护顶点免受火灾蔓延的影响，根据不同的保护目标和参数化方式，可以衍生出多个相关问题，如拯救 k 个顶点（Saving k Vertices）、最大 k 顶点保护（Maximum k - Vertex Protection）以及除 k 个顶点外拯救所有顶点（Saving All But k Vertices）等问题。本文将深入探讨这些问题的复杂性和算法解决方案。

拯救和保护顶点问题

W[1] - 困难性证明

我们首先关注拯救 k 个顶点和最大 k 顶点保护问题在一般图上的复杂性。研究表明，这两个问题即使在二分图上也是 W[1] - 困难的。我们通过从 k - 团问题（k - Clique）进行归约来证明这一点。

• 定理 1：拯救 k 个顶点问题是 W[1] - 困难的，即使在二分图上

  • 给定 k - 团问题的一个实例 (G, k)，假设 G 至少有 k + 1 个非孤立顶点。我们构造一个二分图 G′：
    • 对于 G 中的每条边 (u, v)，添加一个顶点 suv；对于 G 中的每个顶点 v，添加一个顶点 sv。
    • 对于每条边 (u, v)，添加从 suv 到 su 和 sv 的边。
    • 添加一个根顶点 s，以及顶点 ai,j（1 ≤ i ≤ k - 1，1 ≤ j ≤ k）。
    • 连接 ai,j 到 ai′,