6、有限与瞬时螺旋理论及机器人机构拓扑与性能建模

有限与瞬时螺旋理论及机器人机构拓扑与性能建模

1. 螺旋空间分类

螺旋空间可根据一维、二维和三维扭转空间进行分类，具体分类情况如下表所示：
| 扭转空间分类 | 力旋空间的等效分类 |
| — | — |
| 一维（五维） | 一维（五维） |
| 二维（四维） | 二维（四维） |
| 三维 | 三维 |

基于上述分析和互反螺旋空间的性质，仅需对一维、二维和三维螺旋空间进行分类，四维和五维空间的分类可分别参考二维和一维空间。

2. 螺旋之间的微分映射

2.1 单自由度运动

对于实现一般单自由度运动的刚体，它从初始位姿沿连续路径移动到其他位姿。在此过程中，刚体相对于初始位姿的有限运动不断变化。有限运动轴的普吕克坐标、相应的旋转角度和移动距离可视为同一参数的函数。设该参数为 (x)，有限螺旋的表达式可重写为：
[S_f(x) = 2\tan\frac{\theta(x)}{2}
\begin{bmatrix}
s_f(x) \
r_f(x) \times s_f(x)
\end{bmatrix}
+ t(x)
\begin{bmatrix}
0 \
s_f(x)
\end{bmatrix}
]
若参数 (x) 表示时间，通过对该位移表达式求导，可得到刚体在每个位姿的速度表达式：
[\dot{S} f(x) =
\frac{\dot{\theta}(x)}{\cos^2\frac{\theta(x)}{2}}
\begin{bma