3、有限与瞬时螺旋理论：机器人机构运动分析的新视角

有限与瞬时螺旋理论：机器人机构运动分析的新视角

1. 引言

在机器人机构的研究中，刚体运动的描述和分析至关重要。刚体运动通常可分为有限运动和瞬时运动两类，而有限和瞬时螺旋理论（FIS理论）为这两种运动的描述提供了统一的框架。该理论不仅能简洁地表达刚体运动，还为机器人机构的类型综合、性能分析和设计等长期问题提供了有效的数学工具。

2. 有限运动与瞬时运动概述

当刚体沿连续路径运动时，在每个位姿会涉及两种运动：
- 有限运动 ：是指刚体相对于其初始位姿的总运动，通过当前位姿与初始位姿之间的运动变换来描述。
- 瞬时运动 ：不考虑刚体的初始位姿，仅关注刚体在当前位姿的速度（以及加速度、 jerk 等）。

长期以来，人们期望能用一个统一的框架来表达有限运动和瞬时运动，而 FIS 理论中的有限螺旋和瞬时螺旋恰好满足这一需求。在该框架下，有限运动用准向量形式的有限螺旋表示，瞬时运动用向量形式的瞬时螺旋表示，从而以最简洁的代数形式描述所有刚体运动。

3. 有限螺旋的表达

3.1 从对偶四元数导出准向量

有限运动的描述源于 Chasles 定理，即刚体的任何有限运动都可等效为绕某一轴的旋转，随后沿同一轴的平移。有限运动由三个基本元素表示：Chasles 轴（以下称为有限运动轴）、绕该轴的旋转角度以及沿同一轴的平移距离。

传统的有限运动描述方法主要基于矩阵李群和对偶四元数。其中，对偶四元数是描述有限运动最著名的数学工具，它能提供有限运动三个基本元素的解析表达式。我们用 $L_f$ 表示有限运动