36、固定数量箱子的装箱问题再探讨

固定数量箱子的装箱问题再探讨

1. 装箱算法

对于 OPT (I) = K 的装箱算法，其步骤如下：
1. 设置 x = 4，y = 2，并将物品集 I 划分为三个组：Ilarge、Imedium 和 Ismall。
2. 考虑所有可行的预分配方案，将大物品分配到 K 个箱子中。
3. 对中等物品的尺寸进行几何舍入。对于每个区间 (2−(r+1), 2−r]，对物品集 Ir 应用组大小为 ⌈2r / (x log(K))⌉ 的线性分组，并计算舍入后的物品集 Jr 和 J′r。
4. 对于每个预分配方案，使用动态规划将 ∪Jr 中的中等物品分配到箱子 b1, …, bK 中，并将 ∪j J′r 放入箱子 bK+1。
5. 对于一个预分配方案，得到一个可行的 K + 1 个箱子的装箱方案（由于 OPT (I) = K，这样的方案是存在的）。将舍入后的物品替换为其原始尺寸，然后通过贪心算法将小物品分配到箱子 b1, …, bK+1 中。

下面是该算法的流程图：

graph TD;
    A[设置 x = 4, y = 2，划分物品集 I] --> B[分配大物品到 K 个箱子];
    B --> C[对中等物品尺寸进行几何舍入];
    C --> D[使用动态规划分配中等物品];
    D --> E[放入 ∪j J′r 到 bK+1];
    E --> F[得到 K + 1 个箱子的可行方案];
    F --> G[替换舍入物品为原始尺寸];
    G --> H[贪心算法分配小物品];