31、准格雷码生成的改进方法

准格雷码生成的改进方法

1. 引言

在计算机科学领域，高效生成位串序列是一个重要的研究方向。我们关注的是循环准格雷码的生成，它是一种特殊的位串序列。

• 格雷码与准格雷码的定义 ：
  • 格雷码是指任意两个连续的位串恰好只有一位不同的序列。
  • 准格雷码则是任意两个连续的位串最多有 $c$ 位不同的序列，其中 $c$ 是为该码定义的常数。若生成的第一个和最后一个位串也满足最多有 1 位（对于格雷码）或 $c$ 位（对于准格雷码）不同，则称其为循环格雷码或循环准格雷码。
• 算法相关概念 ：
  • 一个包含 $d$ 位的位串具有维度 $d$，我们致力于寻找高效的算法来生成维度为 $d$ 的准格雷码位串序列。
  • 算法的数据结构在生成位串后，其状态与生成的位串完全对应，且数据结构仅使用 $d$ 位。
  • 每次生成步骤中，算法的输入是上一个生成的位串，输出是对应数据结构新状态的位串。
  • 生成的连续唯一位串的数量等于生成数据结构的连续唯一状态的数量，记为 $L$，即生成码的长度，显然 $L \leq 2^d$。
  • 算法的空间效率定义为 $L/2^d$，当空间效率为 1 时，数据结构是空间最优的，能生成所有可能的位串；当 $L < 2^d$ 时，结构是非空间最优的。

我们关注算法效率的几个方面：
1. 算法在最坏情况下为了对输入