31、改进的准格雷码生成方法

改进的准格雷码生成方法

1. 引言

在计算机科学领域，高效生成位串序列是一个重要的研究方向，特别是循环准格雷码的生成。格雷码是一种位串序列，其中任意两个连续的位串恰好有一位不同；而准格雷码则是指任意两个连续位串最多有 $c$ 位不同（$c$ 为代码定义的常数）。若生成的第一个和最后一个位串也满足相应的差异条件，则该格雷码（准格雷码）被称为循环格雷码。

一个包含 $d$ 位的位串具有维度 $d$，我们关注的是生成维度为 $d$ 的准格雷码序列的高效算法。算法的数据结构被限制为恰好使用 $d$ 位，每次生成步骤的输入是上一个生成的位串，输出是对应算法数据结构状态的新位串。生成的连续唯一位串的数量记为 $L$，即生成代码的长度，显然 $L \leq 2^d$。算法的空间效率定义为 $L/2^d$，当空间效率为 1 时，数据结构是空间最优的，能生成所有可能的位串；当 $L < 2^d$ 时，结构是非空间最优的。

我们从以下几个方面关注算法的效率：
1. 算法在最坏情况下为生成下一个位串所需读取的位数。
2. 为达到代码中的后继位串，在最坏情况下需要改变的位数，此值必须为常数才能被视为准格雷码。
3. 每个生成步骤平均读取的位数。
4. 算法的空间效率，理想情况下应生成维度允许的尽可能多的位串，即 $L = 2^d$。

我们的研究结果在这些不同目标之间进行了权衡。与以往工作不同，我们将算法的数据结构限制为恰好 $d$ 位，为了与以往结果进行比较，我们将他们数据结构中的额外位视为生成位串的一部分，以更精确地评估算法的空间效率。

1.1 结果总结

以下是我们的研究结果以及以往结果的总结