32、改进的准格雷码生成方法与对称磁盘图最小生成树特性

改进的准格雷码生成方法与对称磁盘图最小生成树特性

准格雷码生成方法

在准格雷码生成方面，有许多值得关注的研究成果。对于长度为 $d$ 的位串，在准格雷码中生成下一个位串时，平均读取的位数不超过 $r$，最坏情况下写入的位数最多为 $w$。此时，存在一个维度为 $d + \lceil\log r\rceil$ 的空间最优确定性自动机（DAT），用于生成准格雷码。在这个过程中，生成每个位串平均最多读取 $6 \log\lceil\log r\rceil + 3$ 位，最坏情况下最多写入 $w + 1$ 位。这意味着平均读取的位数从 $r$ 减少到了 $O(\log \log r)$，而最坏情况下写入的位数增加了 1。

下面详细介绍其证明过程：
1. 给定一个能生成维度为 $d$ 的准格雷码的 DAT A。
2. 按照特定描述构建一个用于维度为 $d’$ 的递归分区格雷码（RPGC）的 DAT B。B 平均读取 $O(\log d’)$ 位，最坏情况下仅写入 1 位。
3. 利用 A 和 B 构建一个新的 DAT。这个组合的 DAT 能生成维度为 $d + d’$ 的位串。组合码的最后 $d’$ 位更新时，会循环通过 B 生成的准格雷码；前 $d$ 位更新时，会循环通过 A 生成的码。
4. DAT 首先根据 B 的规则将最后 $d’$ 位移动通过 $2^{d’}$ 个状态。当离开这个最终状态，为了再次生成 B 的初始位串，DAT 也会根据 A 的规则将前 $d$ 位移动到它们的下一个状态。
5. 在每个生成步骤中，最后 $d’$ 位被读取并移动到 B 的规则生成的码中的下一个状态，同时检查它们是否到达初始位置，这平均需要读取 $6 \log d’ + 2