17、半平面的多色着色研究

半平面的多色着色研究

1. 引言

在几何着色问题中，我们关注如何对二维平面上的有限点集进行着色，使得任何包含至少特定数量点的半平面，都能包含每个颜色类中的至少一个点。在阐述具体结果之前，我们先引入一些必要的定义。

• 范围空间（超图） ：它是一个二元组 $(V, E)$，其中 $V$ 是一个集合（称为基集），$E$ 是 $V$ 的子集的集合。
• 超图的着色 ：是指为基集中的元素分配颜色。$k$ - 着色是恰好使用 $k$ 种颜色的着色。更正式地说，$k$ - 着色是一个函数 $\chi : V \to {1, \ldots, k}$。对于某个 $k$ - 着色 $\chi$，如果超边 $S \in E$ 包含 $k$ 个颜色类中的每个颜色类的一个点，即对于每个 $i \in {1, \ldots, k}$，$S \cap \chi^{-1}(i) \neq \varnothing$，则称 $S$ 是多色的。

我们关注由无限几何区域族诱导的超图。设 $R$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中的一个区域族（例如所有球、所有轴平行的盒子、所有半空间等）。针对 $R$ 定义了以下两个函数：
1. 设 $f = f_R(k)$ 表示最小的数，使得任何有限点集 $P \subset \mathbb{R}^d$ 都可以进行 $k$ - 着色，使得 $R$ 中包含至少 $f$ 个 $P$ 中的点的每个范围 $R$ 都是多色的。
2. 设 $\overline{f} = \overline{f}_R(k)$ 表示最小的数，使得 $R$ 的任何有限子族 $R