18、半平面多色着色与多仓库多旅行商问题的 3/2 近似算法

半平面多色着色与多仓库多旅行商问题的 3/2 近似算法

半平面多色着色相关内容

在平面着色问题中，我们考虑一种多色着色的情况。对于平面上的一个点 (p)，设 (H’\subseteq H) 是包含点 (p) 的半平面集合。若 (|H’|\geq4k - 3)，可以证明 (H’) 是多色的。这是基于鸽巢原理，当 (|H’|\geq4k - 3) 时，要么 (|H’\cap H^+|\geq2k - 1)，要么 (|H’\cap H^-|\geq2k - 1)。不妨设 (|H’\cap H^+|\geq2k - 1)，设 (L^+ {H’}\subseteq L^+) 是 (H’\cap H^+) 中半平面的边界线集合。在对偶空间中，(L^+ {H’}^ ) 里的点位于直线 (p^ ) 下方。由于 (|L^+_{H’}^ |\geq2k - 1)，所以 (L^+_{H’}^ ) 是多色的，进而 (H’\cap H^+) 是多色的，(H’) 也是多色的。

这里有一个值得注意的点，Fulek 的研究结果表明，对于 (k = 2)，(4k - 3) 这个界限并非是最紧的。确定对于每个整数 (k) 的 (\overline{f}_H(k)) 的精确值是一个有趣的问题。

接下来看小 (\epsilon -) 网的情况。考虑一个超图 (H=(P, E))，其中 (P) 是平面上的 (n) 个点的集合，(E = {P\cap h : h\in H})。Woeginger 证明了对于任意 (1\geq\epsilon>0)，存在一个大小至多为 (\frac{2}{\epsilon}-1) 的 (\epsilon -) 网。作为定