17、半平面的多色着色问题研究

半平面的多色着色问题研究

1. 引言

在平面几何中，我们常关注如何对二维平面上的有限点集进行着色，使得任意包含至少一定数量点的半平面，都能包含每个颜色类中的至少一个点。在深入探讨之前，我们先明确一些关键定义：
- 范围空间（超图） ：它是一个二元组 $(V, E)$，其中 $V$ 是一个集合（称为基集），$E$ 是 $V$ 的子集的集合。
- 超图着色 ：给基集的元素分配颜色。$k$ - 着色是恰好使用 $k$ 种颜色的着色方式，更正式地说，$k$ - 着色是一个函数 $\chi : V \to {1, \ldots, k}$。若超边 $S \in E$ 对于某个 $k$ - 着色 $\chi$ 包含每个 $k$ 颜色类中的一个点，即对于每个 $i \in {1, \ldots, k}$，$S \cap \chi^{-1}(i) \neq \varnothing$，则称 $S$ 是多色的。

我们关注由无限几何区域族诱导的超图。设 $R$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中的一个区域族（如所有球、所有轴平行框、所有半空间等），定义两个重要函数：
1. 设 $f = f_R(k)$ 表示最小的数，使得任何有限点集 $P \subset \mathbb{R}^d$ 都可以进行 $k$ - 着色，使得 $R$ 中包含至少 $f$ 个 $P$ 中点的每个范围都是多色的。
2. 设 $\overline{f} = \overline{f}_R(k)$ 表示最小的数，使得 $R$ 的任何有限子族 $R’$ 都可以进行 $k$ - 着色，使得对于 $\mathbb{R}^d$ 中的每个点 $p$，若