18、平面着色与多仓库多旅行商问题算法研究

平面着色与多仓库多旅行商问题算法研究

一、半平面的多色着色与小 ε - 网

在平面着色问题中，考虑一个点 $p$ 以及包含该点的半平面集合 $H’$。当 $|H’| \geq 4k - 3$ 时，我们可以证明 $H’$ 是多色的。具体推理过程如下：
- 根据鸽巢原理，若 $|H’| \geq 4k - 3$，那么要么 $|H’ \cap H^+| \geq 2k - 1$，要么 $|H’ \cap H^-| \geq 2k - 1$。不妨设 $|H’ \cap H^+| \geq 2k - 1$。
- 令 $L^+ {H’}$ 为 $H’ \cap H^+$ 中半平面边界线的集合。在对偶空间中，$L^+ {H’}$ 对应的点位于直线 $p^ $ 下方的半平面内。由于 $|L^+_{H’ }| \geq 2k - 1$，所以 $L^+_{H’*}$ 是多色的，进而集合 $H’ \cap H^+$ 是多色的，集合 $H’$ 也是多色的。

值得注意的是，Fulek 的研究表明，对于 $k = 2$，$4k - 3$ 这个界限并不是最优的。确定对于每个整数 $k$ 的 $\overline{f_H}(k)$ 的精确值是一个有趣的问题。

接下来看半平面的小 ε - 网问题。考虑一个超图 $H = (P, E)$，其中 $P$ 是平面上的 $n$ 个点的集合，$E = {P \cap h : h \in H}$。Woeginger 证明了对于任意 $1 \geq \epsilon > 0$，存在一个大小至多为 $\frac{2}{\epsilon} - 1$ 的 ε - 网。

我们可以通过定理 2 得到