16、强化无冲突着色：几何诱导超图的 k - 强无冲突着色

强化无冲突着色：几何诱导超图的 k - 强无冲突着色

在几何诱导超图的研究中，无冲突着色是一个重要的问题。本文将深入探讨 k - 强无冲突着色的相关内容，包括其与联合复杂度的关系，以及轴平行矩形的 k - 强无冲突着色问题。

1. 强无冲突着色框架

给定一个超图 H 的 k - 多彩着色，框架 A 可以以一种构造性的方式得到 H 的强无冲突着色。对于某些几何诱导超图的家族，框架 A 能产生高效的算法。特别是对于由圆盘或轴平行矩形诱导的超图，框架 A 可生成具有低阶多项式运行时间的算法。一旦计算出圆盘的排列以及每个面的深度，就可以计算出这些超图的多彩着色。

2. k - 强无冲突着色与联合复杂度

在这部分，我们将证明相关的定理和引理，以阐述 k - 强无冲突着色与联合复杂度之间的关系。

2.1 相关定义

• k - 退化图 ：一个简单有限图 G 被称为 k - 退化的，如果 G 的每个顶点诱导子图都包含一个度数至多为 k 的顶点。
• 图 (G_k(R)) ：对于一个有限的简单闭平面 Jordan 区域集合 R 和一个固定的整数 k，图 (G_k(R)) 的顶点集为 R，当且仅当存在一个点 (p \in R^2) 满足：(i) (p \in r \cap s)；(ii) 在 (R \setminus {r, s}) 中至多有 k 个区域包含 p 时，两个区域 (r, s \in R) 在 (G_k(R)) 中相邻。

2.2 定理与引理

• 定理