17、有向带权网络中三角形的分析与分类

有向带权网络中三角形的分析与分类

1. 特定符号说明

在分析网络时，我们使用特定的符号来满足问题需求。对于给定的图 $\gamma$，$ed(\gamma, w_i)$ 表示权重为 $w_i$ 的边的数量，$ed(\gamma, \varnothing)$ 表示图 $\gamma$ 中缺失的边的数量。在计算这些特征时，边 $\langle v_i, v_j \rangle$ 和 $\langle v_j, v_i \rangle$ 是分开考虑的。

2. 三角形分类

在分析网络结构时，研究网络的基本组成部分（即三角形）是很有意义的。我们关注网络中不同有向带权三角形的分析，将任意两个顶点都由边连接的三个顶点的集合称为三角形，边的方向在此并不重要。

我们的目标是确定哪些三角形是给定网络的特征三角形。特征三角形的定义需要进一步阐述。一个三角形如果在整个网络中比其他三角形出现得更频繁，可能被认为是特征三角形。但不同三角形出现的先验概率可能不同，为了计算这些概率，我们考虑一个概率理论图模型来生成理论频率，与观察到的三角形频率（即经验频率）相对应。特定三角形的理论频率或经验频率与所有三角形总数的比值，分别称为该三角形出现的理论概率或经验概率。

特征三角形需具备两个性质：
- 该三角形在网络中出现的频率足够高，不能被视为单纯的波动。
- 该三角形的经验概率显著大于其理论概率。

目前，我们专注于计算三角形的理论频率。计算理论频率的关键在于选择合适的理论图模型。一种方法是考虑随机图的实现，但单个随机图的实现不能作为所有其他图的参考点，因此应研究这类实现的集合。在计算参考图时，通常考虑与研究图具有特定统计特征的图，关键