90、计算最小体积包围椭球的过滤启发式方法

计算最小体积包围椭球的过滤启发式方法

1. 引言

在许多应用领域，如计算几何、计算机图形学、机器人技术、统计学和最优实验设计等，经常会遇到计算给定一组点的最小体积包围椭球（MVEE，也称为Löwner椭球）的问题。例如，MVEE可以对复杂几何形状提供令人满意的近似，这在碰撞检测等方面非常有用。

给定一组点 $P := {p_1, p_2, …, p_n} \subset R^d$，一个包围椭球 $E_{Q,c}$ 由一个 $d \times d$ 的对称正定矩阵 $Q$ 和一个中心点 $c \in R^d$ 确定，需满足 $(p_i - c)^{\top}Q(p_i - c) \leq 1$ （$i = 1, 2, …, n$）。其正交轴由 $Q$ 的特征向量给出，长度由相应特征值的倒数的平方根给出。若 $P$ 的仿射包是 $R^d$，则 $E_{Q,c}$ 的体积为 $vol E_{Q,c} = \eta det Q^{-1/2}$，其中 $\eta$ 是 $d$ 维单位球的体积。

在低维情况下，MVEE问题可以通过定位最多 $d(d + 3)/2$ 个支撑点（满足上述不等式取等号的点）来精确求解。而在高维应用中，更实际的做法是采用近似解。给定一个容差参数 $\epsilon > 0$，一个 $(1 + \epsilon)$ - 近似的MVEE是一个包围椭球 $E_{\epsilon}$，满足 $vol E_{\epsilon} \leq (1 + \epsilon) vol MVEE(P)$。目前已有多种算法用于高效计算 $(1 + \epsilon)$ - 近似的MVEE。

本文主要研究可应用于部分算法的加速技术，重点关注Khachiyan的一阶算