64、二叉树序列排名与逆排名算法及太阳能电池速度缩放优化

二叉树序列排名与逆排名算法及太阳能电池速度缩放优化

一、二叉树序列排名与逆排名算法

1.1 加泰罗尼亚三角表

加泰罗尼亚三角表在处理二叉树序列排名问题中有着重要作用，以下是 $n = 6$ 时的加泰罗尼亚三角表：
| $i \backslash k$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| — | — | — | — | — | — | — |
| 1 | 132 | | | | | |
| 2 | 42 | 132 | | | | |
| 3 | 14 | 42 | 90 | | | |
| 4 | 5 | 14 | 28 | 48 | | |
| 5 | 2 | 5 | 9 | 14 | 20 | |
| 6 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

并且有推论：设 $n \geqslant 2$ 为整数，对于 $1 \leqslant i \leqslant n - 1$ 和 $0 \leqslant k \leqslant i - 1$，有 $B_{i + 1, k + 1} = B_{i, k} \cdot \frac{m(k + 2)}{(k + 1)(2m + k)}$，其中 $m = n - i + 1$。

1.2 排名算法

1.2.1 基本原理

从编码树的结构可知，具有 $n$ 个内部节点的二叉树与 $T_n$ 的叶子节点存在一一对应关系。对指定树 $T$ 进行排名，等价于计算在 $T_n$ 的排列中，对应于 $T$ 的叶子节点之前的叶子节点数量。

设 $T$ 是一棵