17、无向图中三角形覆盖的全对偶整数性研究

无向图中三角形覆盖的全对偶整数性研究

在图论和优化理论中，图的三角形覆盖和填充问题一直是研究的热点。本文主要从多面体和图形的角度来研究这个问题，探讨了三角形覆盖和填充的多面体整数性与图形结构之间的关系。

1. 基本概念

• 加权图 ：一个加权图 $(G, w)$ 由图 $G$（顶点集为 $V(G)$，边集为 $E(G)$）和边权重函数 $w \in Z_{E(G)}^+$ 组成。任意边子集 $S$ 的权重为 $w(S) = \sum_{e \in S} w(e)$。
• 三角形覆盖 ：图 $G$ 的一个三角形覆盖是指一个边子集 $S$（$\subseteq E(G)$），从 $G$ 中移除 $S$ 后得到一个无三角形的图。用 $\tau_w(G)$ 表示 $(G, w)$ 的三角形覆盖的最小权重。
• 三角形填充 ：$(G, w)$ 的一个三角形填充是指 $G$ 中三角形的一个集合（允许重复），使得每条边 $e \in E(G)$ 最多包含在 $w(e)$ 个三角形中。用 $\nu_w(G)$ 表示 $(G, w)$ 的三角形填充的最大规模。当 $w = 1$ 时，分别记为 $\tau(G)$ 和 $\nu(G)$。

2. Tuza 猜想及其变体

• Tuza 猜想 ：对于所有图 $G$，有 $\tau(G) \leq 2\nu(G)$；其加权版本为对于所有图 $G$ 和所有 $w \in Z_{E(G)}^+$，有 $\tau_w(