14、非二分图匹配与加权匹配算法详解

非二分图匹配与加权匹配算法详解

1. 引言

在图论中，匹配问题一直是研究的热点。二分图匹配问题已经有了较为成熟的算法和理论，然而非二分图的匹配问题则更为复杂。本文将深入探讨非二分图的加权匹配问题，包括相关概念、算法原理以及实际应用案例。

2. 加权二分图匹配的应用：逆最小生成树问题

逆最小生成树问题是加权二分图匹配的一个重要应用。给定一个加权图 (G = (V, E, c)) 和一棵生成树 (T)，目标是尽可能谨慎地修改成本函数，使得 (T) 成为最小生成树。

具体来说，我们不会增加 (T) 中边的权重，也不会降低 (T) 外边的成本。可以用一个非负扰动 (d) 来表示修改后的函数：
[
\sum_{e\in T}(c(e) - d(e)) + \sum_{e\notin T}(c(e) + d(e))
]

根据电路准则，(T) 相对于修改后的成本函数是最优的，当且仅当：
[
\forall f\notin T \forall e \in C(f, T) \setminus {f} : c(f) + d(f) \geq c(e) - d(e)
]
或者等价地：
[
\forall f\notin T \forall e \in C(f, T) : d(e) + d(f) \geq c(e) - c(f)
]

我们可以将这个问题转化为一个二分图匹配问题，在顶点集 (T \dot{\cup}(E \setminus T)) 上定义二分图，其中 ((e, f)) 是一条权重为 (c(e) - c(f)) 的边，当且仅当 (e